Từ điển học thuật Kỹ thuật và công nghệ

Creep fatigue là gì? Cơ chế phá hủy và mô hình đánh giá

Tiếng Anhcreep-fatigue interaction

Tên gọi kháctương tác mỏi từ biếnmỏi kết hợp từ biếntương tác creep fatigue

Creep fatigue (tương tác mỏi - từ biến), hay hiện tượng phá hủy do mỏi kết hợp từ biến nhiệt độ cao, là cơ chế suy thoái và phá hủy tích lũy phức hợp xảy ra trong các cấu kiện cơ khí và vật liệu kim loại chịu nhiệt khi làm việc đồng thời hoặc luân phiên dưới tác động của tải trọng cơ nhiệt chu kỳ và ứng suất cơ học duy trì ở nhiệt độ cao.

Cập nhật 13/9/2026

Creep fatigue (tương tác mỏi - từ biến), hay hiện tượng phá hủy do mỏi kết hợp từ biến nhiệt độ cao, là cơ chế suy thoái và phá hủy tích lũy phức hợp xảy ra trong các cấu kiện cơ khí và vật liệu kim loại chịu nhiệt khi làm việc đồng thời hoặc luân phiên dưới tác động của tải trọng cơ nhiệt chu kỳ và ứng suất cơ học duy trì ở nhiệt độ cao. Khi nhiệt độ làm việc của cấu kiện vượt qua ngưỡng nhiệt độ từ biến của vật liệu, hai quá trình phá hủy riêng biệt gồm mỏi chu kỳ do dao động ứng suất hoặc biến dạng và từ biến do giữ tải kéo dài bắt đầu diễn ra song song và tương tác trực tiếp với nhau, đẩy nhanh tốc độ suy giảm cơ tính và phá hủy vật liệu sớm hơn nhiều so với tổng tác động cơ học đơn thuần.

Bản chất vật lý và hiện tượng học của tương tác mỏi - từ biến

Trong điều kiện nhiệt độ thường, các vật liệu kim loại chịu tải trọng lặp tuần hoàn chủ yếu bị phá hủy bởi cơ chế mỏi cơ học thông thường. Ngược lại, khi chịu tải trọng tĩnh kéo dài ở nhiệt độ cao, vật liệu chịu sự biến dạng dẻo tăng dần theo thời gian gọi là hiện tượng từ biến. Tuy nhiên, trong thực tế vận hành của các thiết bị công nghiệp nặng như cánh tuabin khí hàng không, đường ống dẫn hơi áp lực cao của nhà máy nhiệt điện hay các bộ trao đổi nhiệt trong lò phản ứng hạt nhân, tải trọng tác động lên chi tiết luôn có tính chất chu kỳ kết hợp với các khoảng thời gian vận hành ổn định kéo dài ở nhiệt độ cao.

Hiện tượng tương tác mỏi - từ biến thể hiện các đặc trưng nhiệt cơ học nổi bật sau:

  • Sự suy giảm tuổi thọ chu kỳ do thời gian giữ tải (hold-time effect): Khi duy trì biến dạng kéo cực đại trong một khoảng thời gian nhất định ở mỗi chu kỳ mỏi, số chu trình dẫn đến phá hủy của mẫu thử giảm mạnh so với thí nghiệm mỏi liên tục ở cùng mức dải biến dạng.
  • Hiện tượng chùng ứng suất (stress relaxation): Trong suốt khoảng thời gian duy trì biến dạng kéo không đổi, ứng suất đàn hồi ban đầu dần chuyển đổi thành biến dạng từ biến không hồi phục, làm suy giảm ứng suất tức thời nhưng đồng thời tích tụ vi tổn thương từ biến dọc theo ranh giới hạt.
  • Hiệu ứng tương hỗ gia tốc hư hỏng (synergistic damage): Hư hỏng mỏi tạo điều kiện thuận lợi cho sự khuếch tán nguyên tử và tập trung ứng suất thúc đẩy mầm vi tổn thương phát triển; ngược lại, các tổn hại từ biến tạo thành các đường dẫn yếu, giúp vết nứt mỏi lan truyền xuyên suốt cấu kiện với vận tốc lớn hơn nhiều lần.

Cơ chế vi cấu trúc và rạn nứt ở nhiệt độ cao

Dưới góc độ luyện kim vật lý và cơ học phá hủy vi mô, tương tác mỏi - từ biến là cuộc cạnh tranh và tương tác phức tạp giữa hai cơ chế tổn thương tế vi diễn ra đồng thời bên trong vật liệu:

Biến dạng chu kỳ và sự hình thành vết nứt mỏi xuyên hạt

Dưới tác dụng của tải trọng chu kỳ tần số cao hoặc biên độ biến dạng lớn, các chuyển vị mạng tinh thể liên tục dịch chuyển qua lại dọc theo các mặt trượt thuận lợi nhất. Quá trình này dẫn đến sự tích tụ cục bộ của các dải trượt bền vững, hình thành các gờ nổi và rãnh lõm trên bề mặt chi tiết. Các rãnh lõm này đóng vai trò như các điểm tập trung ứng suất tế vi, khởi sinh vết nứt mỏi giai đoạn một. Vết nứt sau đó phát triển theo phương vuông góc với trục ứng suất kéo chính và xuyên qua các hạt tinh thể (transgranular cracking).

Cơ chế rão vi mô và sự tích tụ vi tổn thương

Dưới tác động của nhiệt độ cao và ứng suất kéo duy trì trong pha giữ tải, các cơ chế từ biến khuếch tán và leo chuyển vị được kích hoạt mạnh mẽ. Nguyên tử kim loại và các nút khuyết mạng khuếch tán có định hướng dọc theo các ranh giới hạt tinh thể vuông góc với trục ứng suất kéo. Quá trình này tạo mầm cho các lỗ xốp từ biến tế vi tại các giao điểm ranh giới hạt hoặc tại các bề mặt tiếp giáp giữa pha nền và các hạt kết tủa carbide. Khi ứng suất duy trì tiếp tục tác động, các lỗ xốp này lớn dần và liên kết lại thành các vết rạn nứt tế vi chạy dọc ranh giới hạt (intergranular cracking).

Cạnh tranh động học giữa nứt xuyên hạt và tổn hại liên hạt

Trong công trình tổng quan kinh điển, Yokobori và Yokobori (2001) đã phân tích chi tiết cơ học rạn nứt nhiệt độ cao và chỉ ra rằng dạng phá hủy cuối cùng của vật liệu phụ thuộc vào sự cạnh tranh động học giữa tốc độ phát triển của vết nứt mỏi xuyên hạt từ bề mặt và tốc độ tích tụ hư hỏng rão ranh giới hạt trong thể tích. Khi chu kỳ tải có tần số cao và thời gian giữ tải ngắn, cơ chế mỏi xuyên hạt chiếm ưu thế tuyệt đối. Ngược lại, khi tần số tải thấp, thời gian giữ tải kéo dài hoặc nhiệt độ vận hành tăng cao, tổn hại rão phát triển nhanh chóng và chuyển đổi dạng phá hủy thành nứt liên hạt, gây sụp đổ cấu trúc sớm.

Ảnh hưởng kết hợp của mỏi, từ biến và oxy hóa môi trường

Trong môi trường không khí hoặc khí cháy ở nhiệt độ cao, tác động môi trường hóa học đóng vai trò quan trọng đối với tuổi thọ mỏi từ biến. Nghiên cứu thực nghiệm kinh điển của Fournier và cộng sự (2008) đối với hợp kim thép mactenxit 9Cr-1Mo đã làm sáng tỏ rằng thời gian giữ tải ở pha kéo làm suy giảm mạnh tuổi thọ chu kỳ mỏi do sự tương tác giữa hiện tượng mềm hóa chu kỳ và oxy hóa bề mặt. Dưới tải trọng mỏi chu kỳ có thời gian giữ tải, lớp màng oxit bảo vệ bề mặt liên tục bị nứt vỡ giòn, cho phép oxy xâm nhập sâu vào các rãnh nứt tế vi, thúc đẩy quá trình tạo mầm vết nứt mỏi bề mặt và gia tốc tốc độ lan truyền xuyên hạt (transgranular cracking). Đáng chú ý, quan sát hiển vi điện tử trong nghiên cứu của Fournier và cộng sự (2008) ghi nhận sự vắng mặt của hiện tượng tạo rỗ xốp từ biến ranh giới hạt (no creep cavitation) trong phạm vi tải trọng khảo sát, khẳng định rằng sự sụt giảm tuổi thọ trong điều kiện này xuất phát chủ yếu từ tương tác mỏi - oxy hóa môi trường kết hợp hiện tượng mềm hóa tổ chức tế vi.

Các mô hình đánh giá và dự đoán tuổi thọ mỏi từ biến

Để dự đoán tuổi thọ làm việc an toàn của các thiết bị hoạt động trong điều kiện nhiệt độ cao, nhiều mô hình toán học và cơ học đã được phát triển từ thực nghiệm và lý thuyết cơ học môi trường liên tục:

Quy tắc tích lũy hư hỏng tuyến tính

Quy tắc tích lũy hư hỏng tuyến tính (Linear Damage Accumulation Rule), dựa trên nguyên lý Robinson - Taira, giả định rằng tổng hư hại của vật liệu là tổng đại số độc lập của phân số hư hỏng mỏi chu kỳ và phân số hư hỏng từ biến duy trì:

D=Df+Dc=∑niNfi+∑tjtrj≤DcritD = D_f + D_c = \sum \frac{n_i}{N_{fi}} + \sum \frac{t_j}{t_{rj}} \le D_{\mathrm{crit}}

Trong đó:

  • DD là tổng hư hại tích lũy của cấu kiện.
  • DfD_f là phân số hư hại do mỏi, tính bằng tỷ số giữa số chu trình thực tế nin_i ở mức tải thứ ii so với số chu trình phá hủy mỏi thuần túy NfiN_{fi}.
  • DcD_c là phân số hư hại do từ biến, trong điều kiện tải tĩnh tính bằng tỷ số giữa thời gian giữ tải tjt_j ở mức ứng suất thứ jj so với thời gian phá hủy từ biến tĩnh trjt_{rj}. Trong điều kiện khống chế biến dạng có chùng ứng suất, ứng suất suy giảm liên tục theo thời gian, phân số tổn thương từ biến được tích phân theo đường cong chùng ứng suất: Dc=∫0thdttr(σ(t),T)D_c = \int_0^{t_h} \frac{dt}{t_r(\sigma(t), T)}.
  • DcritD_{\mathrm{crit}} là giới hạn hư hỏng tới hạn cho phép, thường được xác định từ giản đồ tương tác hư hỏng thực nghiệm song tuyến (bilinear damage envelope) với điểm giao cắt đặc trưng của từng hệ hợp kim cụ thể.

Phương pháp tần số hiệu chỉnh của Coffin

Nhận thấy ảnh hưởng sâu sắc của yếu tố thời gian và tốc độ đặt tải lên tuổi thọ mỏi ở nhiệt độ cao, Coffin (1974) đã công bố trên Kỷ yếu Viện Kỹ sư Cơ khí (Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers) phương pháp tần số hiệu chỉnh nhằm tích hợp tần số chu kỳ vào mối quan hệ Coffin - Manson kinh điển:

Δϵp=C(Nfνk−1)−β\Delta \epsilon_p = C \left( N_f \nu^{k-1} \right)^{-\beta}

Trong đó:

  • Δϵp\Delta \epsilon_p là dải biến dạng dẻo của chu kỳ mỏi (plastic strain range).
  • NfN_f là số chu trình tới hạn gây phá hủy mỏi ở nhiệt độ cao.
  • ν\nu là tần số đặt tải của chu kỳ nhiệt cơ.
  • kk là tham số thực nghiệm phản ánh mức độ nhạy của vật liệu đối với ảnh hưởng của tốc độ biến dạng và môi trường nhiệt cơ (khi k=1k = 1, phương trình trở về dạng Coffin - Manson thuần túy độc lập với tần số).
  • CC và β\beta là các hằng số vật liệu thực nghiệm phụ thuộc vào nhiệt độ thử nghiệm.

Phương pháp phân chia dải biến dạng

Để khắc phục hạn chế của việc không phân biệt được bản chất cơ học giữa biến dạng dẻo tức thời và biến dạng từ biến phụ thuộc thời gian, Halford, Hirschberg và Manson (1973) đã đề xuất Phương pháp phân chia dải biến dạng (Strainrange Partitioning Method - SRP) trong kỷ yếu của Hiệp hội Thử nghiệm và Vật liệu Hoa Kỳ (ASTM STP 520). Phương pháp này phân tách tổng dải biến dạng không đàn hồi (inelastic strain range) thành bốn thành phần cơ sở độc lập:

Δϵin=Δϵpp+Δϵcp+Δϵpc+Δϵcc\Delta \epsilon_{in} = \Delta \epsilon_{pp} + \Delta \epsilon_{cp} + \Delta \epsilon_{pc} + \Delta \epsilon_{cc}

Trong đó:

  • Δϵpp\Delta \epsilon_{pp}: Dải biến dạng dẻo thuần túy ở cả nửa chu kỳ kéo và nửa chu kỳ nén (plastic tension - plastic compression).
  • Δϵcp\Delta \epsilon_{cp}: Dải biến dạng từ biến ở nửa chu kỳ kéo kết hợp biến dạng dẻo ở nửa chu kỳ nén (creep tension - plastic compression). Đây là thành phần phá hủy nguy hiểm nhất trong thực tế vì các vi tổn thương hình thành trong pha kéo không thể bị triệt tiêu hoàn toàn ở pha nén dẻo.
  • Δϵpc\Delta \epsilon_{pc}: Dải biến dạng dẻo ở nửa chu kỳ kéo kết hợp biến dạng từ biến ở nửa chu kỳ nén (plastic tension - creep compression).
  • Δϵcc\Delta \epsilon_{cc}: Dải biến dạng từ biến ở cả nửa chu kỳ kéo và nửa chu kỳ nén (creep tension - creep compression).

Về mặt động học chu trình trễ đóng kín, biến dạng không đàn hồi tích lũy ở nửa chu kỳ kéo phải cân bằng với nửa chu kỳ nén. Do đó, hai thành phần biến dạng bất đối xứng Δϵcp\Delta \epsilon_{cp} và Δϵpc\Delta \epsilon_{pc} loại trừ lẫn nhau trong cùng một chu kỳ; bất kỳ chu trình tải trọng nào cũng chỉ chứa tối đa ba thành phần dải biến dạng cơ bản. Mối quan hệ tuổi thọ tổng quát của phương pháp phân chia dải biến dạng được xác định thông qua quy tắc tương tác tuyến tính phân số:

∑FijNij=1Nf\sum \frac{F_{ij}}{N_{ij}} = \frac{1}{N_f}

Trong đó Fij=Δϵij/ΔϵinF_{ij} = \Delta \epsilon_{ij} / \Delta \epsilon_{in} là phân số của từng thành phần dải biến dạng, và NijN_{ij} là tuổi thọ tương ứng với từng thành phần thuần túy. Bằng cách xác định mối quan hệ tuổi thọ riêng biệt cho từng thành phần thông qua thực nghiệm, phương pháp của Halford, Hirschberg và Manson (1973) cho phép dự đoán chính xác độ bền mỏi từ biến dưới các dạng sóng chu kỳ tải trọng nhiệt cơ bất đối xứng phức tạp.

So sánh các phương pháp đánh giá tuổi thọ mỏi từ biến

Bảng tổng hợp dưới đây so sánh các ưu điểm và phạm vi áp dụng của các phương pháp đánh giá tuổi thọ mỏi từ biến chính đang được ứng dụng trong kỹ thuật hiện đại:

Phương pháp đánh giá Cơ sở vật lý và giả định chính Ưu điểm nổi bật Hạn chế kỹ thuật Phạm vi áp dụng điển hình
Quy tắc tích lũy tuyến tính Cộng độc lập phân số hư hỏng mỏi chu kỳ và phân số hư hỏng từ biến duy trì Công thức đơn giản, dữ liệu đầu vào dễ tìm từ thử nghiệm mỏi và từ biến đơn lẻ Bỏ qua tính phi tuyến của tương tác và ảnh hưởng của trình tự tác động tải Thiết kế quy chuẩn ban đầu cho lò phản ứng hạt nhân và nồi hơi công nghiệp
Tần số hiệu chỉnh (Coffin 1974) Mở rộng phương trình Coffin - Manson bằng cách ghép tần số tải chu kỳ Mô tả tốt ảnh hưởng của tốc độ biến dạng trong điều kiện tải biến đổi liên tục Khó áp dụng chính xác cho các chu kỳ có thời gian giữ tải tĩnh kéo dài Cấu kiện động cơ phản lực hàng không chịu tải chu kỳ biến đổi liên tục
Phân chia dải biến dạng (Halford et al. 1973) Phân tách dải biến dạng không đàn hồi thành 4 thành phần dẻo và từ biến Phân biệt rõ cơ chế phá hủy kéo nén bất đối xứng và dạng sóng tải trọng Đòi hỏi khối lượng thử nghiệm phức tạp để xác định bốn đường cong chuẩn Các chi tiết chịu chu kỳ nhiệt cơ khắc nghiệt có thời gian giữ tải bất đối xứng
Cơ học hư hỏng liên tục (CDM) Mô hình hóa sự tiến hóa của biến trạng thái hư hỏng nội vi mô Phản ánh chính xác bản chất phi tuyến và tương hỗ mạnh giữa các cơ chế Yêu cầu tài nguyên tính toán phần tử hữu hạn lớn và nhiều thông số thực nghiệm Mô phỏng số học nâng cao cho các vị trí tập trung ứng suất hình học phức tạp

Ứng dụng thực tế và thách thức kỹ thuật trong công nghiệp

Hiện tượng mỏi từ biến là nguyên nhân hàng đầu gây hư hỏng trong nhiều ngành công nghiệp công nghệ cao:

Ngành năng lượng nhiệt điện và hạt nhân

Các đường ống dẫn hơi chính, ống quá nhiệt và thân van áp lực cao vận hành ở nhiệt độ hơi nước rất cao và áp suất lớn. Trong quá trình khởi động, thay đổi phụ tải và ngừng máy, các gradient nhiệt độ sinh ra ứng suất nhiệt chu kỳ lớn gây mỏi chu kỳ thấp, trong khi giai đoạn vận hành phụ tải nền ổn định kéo dài tạo ra sự chùng ứng suất và tích lũy tổn thương từ biến liên tục.

Động cơ tua bin khí và hàng không vũ trụ

Cánh tuabin khí và đĩa tuabin cao áp chịu lực ly tâm cực lớn ở nhiệt độ khí cháy vượt quá khả năng chịu nhiệt của kim loại thông thường. Mỗi chuyến bay tạo nên một chu kỳ mỏi nhiệt cơ (cất cánh - bay bằng - hạ cánh), trong đó giai đoạn bay bằng đóng vai trò như khoảng thời gian giữ tải ở nhiệt độ cao gây ra sự suy thoái mỏi từ biến kết hợp oxy hóa ăn mòn nóng.

Thách thức ngoại suy dữ liệu từ phòng thí nghiệm sang tuổi thọ công trình

Các thử nghiệm mỏi từ biến trong phòng thí nghiệm thường chỉ duy trì thời gian giữ tải từ vài chục giây đến vài chục phút do giới hạn thời gian nghiên cứu. Tuy nhiên, các cấu kiện thực tế trong nhà máy điện vận hành liên tục hàng ngàn giờ giữa các chu kỳ khởi động và dừng máy. Việc ngoại suy dữ liệu từ các chu kỳ giữ tải ngắn sang các chu kỳ vận hành thực tế dài hạn tiềm ẩn nhiều rủi ro sai lệch do sự chuyển dịch cơ chế vi cấu trúc và sự suy thoái độ dẻo rão theo thời gian.

Giải pháp kỹ thuật nâng cao khả năng kháng mỏi từ biến

Để kéo dài tuổi thọ và nâng cao độ an toàn cho các cấu kiện làm việc ở nhiệt độ cao, các giải pháp kỹ thuật đa ngành đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi:

  • Kiểm soát tổ chức tế vi và thiết kế hợp kim: Ứng dụng các siêu hợp kim gốc niken đúc đơn tinh thể nhằm loại bỏ hoàn toàn các ranh giới hạt, triệt tiêu cơ chế trượt ranh giới hạt và nứt từ biến liên hạt. Đối với các hợp kim đa tinh thể, việc bổ sung các nguyên tố vi lượng để tạo kết tủa carbide phân tán mịn tại ranh giới hạt giúp ghìm giữ ranh giới hạt và ngăn chặn sự phát triển của vi tổn thương.
  • Công nghệ lớp phủ cách nhiệt: Phủ lớp vật liệu gốm cách nhiệt có hệ số dẫn nhiệt thấp lên bề mặt cấu kiện kim loại giúp giảm nhiệt độ bề mặt kim loại cơ sở, hạn chế đáng kể cả mức độ mỏi nhiệt và tốc độ tích lũy từ biến.
  • Tối ưu hóa quy trình vận hành và bảo trì: Áp dụng các quy trình khởi động và làm nguội thiết bị có kiểm soát tốc độ thay đổi nhiệt độ nhằm hạn chế tối đa gradient nhiệt cục bộ gây ứng suất nhiệt chu kỳ, đồng thời kết hợp hệ thống cảm biến giám sát hư hại trực tuyến để phát hiện sớm các dấu hiệu suy thoái vật liệu.

Câu hỏi thường gặp

Tại sao thời gian giữ tải lại làm suy giảm nghiêm trọng tuổi thọ mỏi của vật liệu ở nhiệt độ cao?

Thời gian giữ tải tạo điều kiện cho hiện tượng chùng ứng suất và kích hoạt các cơ chế từ biến khuếch tán, dẫn đến sự hình thành vi tổn thương tại các ranh giới hạt. Khi chu kỳ mỏi tiếp diễn, các vi tổn thương này đóng vai trò như các đường dẫn yếu làm tăng vọt tốc độ lan truyền vết nứt mỏi.

Quy tắc tích lũy hư hỏng tuyến tính có những giới hạn kỹ thuật nào khi đánh giá mỏi từ biến?

Quy tắc tuyến tính giả định hư hại mỏi và từ biến tích lũy độc lập và có thể cộng đại số thuần túy. Giả định này bỏ qua hiệu ứng tương hỗ phi tuyến mạnh mẽ giữa hai cơ chế, không xét đến trình tự tác động của tải trọng và bỏ qua ảnh hưởng của môi trường oxy hóa bề mặt.

Tại sao quá trình oxy hóa môi trường lại làm gia tốc sự phá hủy do mỏi từ biến ở nhiệt độ cao?

Dưới tải trọng chu kỳ ở nhiệt độ cao, màng oxit bề mặt giòn liên tục bị nứt vỡ, tạo điều kiện cho oxy xâm nhập sâu vào đáy vết nứt. Nghiên cứu của Fournier và cộng sự (2008) trên thép 9Cr-1Mo chỉ ra rằng tương tác giữa mỏi và oxy hóa thúc đẩy nhanh quá trình tạo mầm và lan truyền vết nứt mỏi xuyên hạt, ngay cả khi chưa xuất hiện hiện tượng rỗ xốp từ biến ranh giới hạt.

Phương pháp phân chia dải biến dạng khắc phục nhược điểm gì của quy tắc cộng tuyến tính?

Phương pháp SRP phân biệt rõ bản chất cơ học giữa biến dạng dẻo tức thời và biến dạng từ biến phụ thuộc thời gian bằng cách tách tổng dải biến dạng không đàn hồi thành bốn thành phần cơ bản (pp, cp, pc, cc), qua đó mô tả chính xác sự suy giảm tuổi thọ dưới các chu kỳ giữ tải kéo nén bất đối xứng mà quy tắc cộng tuyến tính bỏ qua.

Tài liệu tham khảo

  1. Coffin, L. F. (1974). Fatigue at High Temperature-Prediction and Interpretation. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 188(1), 109-127. DOI: 10.1243/pime_proc_1974_188_014_02
  2. Halford, G. R., Hirschberg, M. H., & Manson, S. S. (1973). Temperature Effects on the Strainrange Partitioning Approach for Creep Fatigue Analysis. Fatigue at Elevated Temperatures, ASTM STP 520, 658-669. DOI: 10.1520/stp38877s
  3. Yokobori, T., & Yokobori, A. T. (2001). High temperature creep, fatigue and creep–fatigue interaction in engineering materials. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 78(11-12), 903-908. DOI: 10.1016/s0308-0161(01)00105-3
  4. Fournier, B., Sauzay, M., Caes, C., et al. (2008). Creep–fatigue–oxidation interactions in a 9Cr–1Mo martensitic steel. Part I: Effect of tensile holding period on fatigue lifetime. International Journal of Fatigue, 30(4), 649-662. DOI: 10.1016/j.ijfatigue.2007.05.007