Hàm Weyl (weyl function) là gì?

Hàm Weyl (weyl function) là một hàm giải tích nhận giá trị toán tử hoặc vô hướng, mã hóa toàn bộ dữ liệu biên và cấu trúc phổ của các thác triển tự liên hợp cho một toán tử đối xứng trong không gian Hilbert. Khởi nguồn từ lý thuyết phương trình vi phân kỳ dị cấp hai, hàm Weyl đóng vai trò cầu nối nền tảng giữa lý thuyết phổ, giải tích phức và hình học vi phân. Trong toán học và vật lý hiện đại, hàm Weyl là công cụ giải tích cốt lõi để nghiên cứu bài toán phổ thuận, bài toán tán xạ ngược, lý thuyết nhiễu loạn và các bài toán biên elliptic nhiều chiều.

Bản chất và định nghĩa toán học

Để hiểu rõ bản chất của hàm Weyl, cần xuất phát từ cấu trúc hình học của lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert. Cho $H$ là một không gian Hilbert tách được với tích vô hướng $(\cdot, \cdot)_H$. Xét một toán tử tuyến tính $A$ xác định trù mật, đối xứng và khép kín trong $H$. Trong trường hợp tổng quát, miền xác định $\operatorname{dom}(A)$ không trùng với miền xác định của toán tử liên hợp $A^*$, mà chỉ thỏa mãn bao hàm thức $A \subset A^*$. Mức độ bất đối xứng này được định lượng thông qua các không gian khuyết.

Với mỗi tham số phổ phức $\lambda \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$, không gian khuyết $\mathcal{N}_\lambda$ được định nghĩa là hạt nhân của toán tử sai phân:

trong đó $f$ là phần tử nghiệm riêng suy rộng trong miền xác định $\operatorname{dom}(A^*)$, và $\lambda$ là tham số phổ phức. Kích thước hay số chiều của các không gian khuyết này tại nửa mặt phẳng trên và nửa mặt phẳng dưới được gọi là các chỉ số khuyết của toán tử đối xứng $A$. Toán tử đối xứng $A$ thừa nhận các thác triển tự liên hợp trong cùng không gian Hilbert $H$ khi và chỉ khi hai chỉ số khuyết này bằng nhau.

Bản chất giải tích của hàm Weyl thể hiện ở việc nó thuộc lớp hàm Nevanlinna-Herglotz (còn gọi là hàm Nevanlinna hoặc hàm Herglotz). Một hàm toán tử $M(\lambda)$ ánh xạ từ nửa mặt phẳng phức trên vào không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên một không gian Hilbert biên được gọi là hàm Herglotz nếu nó là hàm chỉnh hình và phần ảo của nó là một toán tử không âm. Cụ thể, với mọi tham số phổ $\lambda$ có phần ảo dương, ta có bất đẳng thức toán tử:

trong đó $M(\lambda)^*$ ký hiệu toán tử liên hợp của $M(\lambda)$, và $i$ là đơn vị ảo. Tính chất không âm này phản ánh nguyên lý bảo toàn năng lượng và tính định hướng của dòng xác suất trong các hệ lượng tử hoặc hệ sóng vi phân.

Về mặt phổ học, hàm Weyl mang ý nghĩa quyết định bởi vì nó chứa đựng toàn bộ thông tin về độ đo phổ của toán tử vi phân. Nhờ tính chất giải tích Herglotz, hàm Weyl thừa nhận một biểu diễn tích phân giải tích kiểu Nevanlinna. Khi lấy giới hạn của phần ảo của hàm Weyl khi phần ảo của tham số phổ tiến dần về không từ phía trên trục thực, ta thu được độ đo phổ thông qua công thức nghịch đảo Stieltjes. Do đó, mọi đặc trưng phổ như phổ rời rạc (các giá trị riêng), phổ liên tục tuyệt đối và phổ kỳ dị đều được giải mã trực tiếp từ các điểm cực, vết cắt nhánh và hành vi kỳ dị của hàm Weyl trên trục số thực.

Lịch sử hình thành và phát triển

Lịch sử hình thành của hàm Weyl bắt đầu từ năm 1910, khi nhà toán học người Đức Hermann Weyl công bố công trình kinh điển đặt nền móng cho lý thuyết kỳ dị của phương trình vi phân cấp hai. Trong bài báo này, Weyl khảo sát phương trình Sturm-Liouville trên nửa trục vô hạn:

với biến số không gian $x \ge 0$, hàm nghiệm vi phân $y(x)$, hàm thế năng thực $q(x)$ và tham số phổ phức $\lambda$. Để xử lý tính kỳ dị tại điểm vô hạn, Weyl đã xây dựng phương pháp hình học dựa trên các đường tròn lồng nhau trong mặt phẳng phức.

Xét hai nghiệm cơ bản $\theta(x, \lambda)$ và $\phi(x, \lambda)$ của phương trình vi phân thỏa mãn các điều kiện ban đầu tại điểm gốc:

trong đó dấu phẩy biểu thị đạo hàm theo biến không gian $x$. Bằng cách xét một tổ hợp tuyến tính dạng $\psi(x, \lambda) = \theta(x, \lambda) + m \phi(x, \lambda)$ và áp đặt điều kiện biên tự liên hợp thực tại một điểm mút hữu hạn, hệ số phức $m$ bị giới hạn trên một đường tròn trong mặt phẳng phức. Khi điểm mút hữu hạn tiến ra dương vô cực, các đường tròn này co lại và lồng vào nhau, dẫn tới hai khả năng cơ bản:

• Trường hợp đường tròn giới hạn (limit circle, LC): Khi điểm mút tiến ra vô hạn, các đường tròn co lại về một đường tròn giới hạn có bán kính dương. Trong trường hợp này, mọi nghiệm của phương trình vi phân đều thuộc không gian khả tích bình phương trên nửa trục với mọi tham số phổ phức. Khi đó, cần phải bổ sung thêm một điều kiện biên tại vô hạn để xác định một thác triển tự liên hợp.
• Trường hợp điểm giới hạn (limit point, LP): Bán kính của các đường tròn tiến dần về không, và dãy đường tròn lồng nhau co lại về một điểm duy nhất trong mặt phẳng phức. Điểm giới hạn duy nhất này xác định một giá trị giải tích duy nhất $m(\lambda)$, gọi là hàm m Weyl, sao cho tổ hợp nghiệm tương ứng thuộc không gian khả tích bình phương trên nửa trục.

Đến năm 1946, nhà toán học người Anh Edward Charles Titchmarsh đã mở rộng và hoàn thiện lý thuyết này trong chuyên khảo về khai triển hàm riêng gắn với phương trình vi phân cấp hai. Titchmarsh chứng minh rằng hàm $m(\lambda)$ cho phép thiết lập trực tiếp công thức khai triển phổ tương tự như phép biến đổi Fourier suy rộng. Kể từ đó, hàm số này được cộng đồng toán học quốc tế gọi là hàm m Weyl-Titchmarsh.

Bước phát triển hiện đại hóa diễn ra vào năm 1991 khi hai nhà toán học V. I. Gorbachuk và M. L. Gorbachuk hệ thống hóa lý thuyết không gian giá trị biên cho các phương trình vi phân toán tử. Cùng năm 1991, V. A. Derkach và M. M. Malamud đã công bố công trình đột phá thiết lập lý thuyết bộ ba biên và định nghĩa hàm Weyl dưới dạng toán tử trừu tượng trên không gian Hilbert biên. Sau đó, vào năm 1995, Derkach và Malamud tiếp tục mở rộng cấu trúc này cho các toán tử Hermite và bài toán mômen trong không gian tích trong bất định Krein. Đến năm 2020, J. Behrndt, S. Hassi và H. de Snoo xuất bản chuyên khảo tổng kết toàn diện lý thuyết bài toán biên và hàm Weyl, đưa lý thuyết này trở thành ngôn ngữ chuẩn tắc cho giải tích toán tử hiện đại.

Hàm Weyl trong lý thuyết bộ ba biên

Lý thuyết bộ ba biên (boundary triplets) cung cấp một cấu trúc đại số và giải tích hoàn chỉnh để mô tả toàn bộ các thác triển tự liên hợp và giải thức của một toán tử đối xứng. Cho $A$ là toán tử đối xứng khép kín, trù mật trong không gian Hilbert $H$ với các chỉ số khuyết bằng nhau. Một bộ ba $\{\mathcal{H}, \Gamma_0, \Gamma_1\}$ được gọi là một bộ ba biên cho toán tử liên hợp $A^*$ nếu thỏa mãn đồng thời hai tiên đề cơ bản sau:

• Đồng nhất thức Green trừu tượng: Với mọi phần tử $f, g \in \operatorname{dom}(A^*)$, tích vô hướng thỏa mãn hệ thức:
  $$(A^*f, g)_H - (f, A^*g)_H = (\Gamma_1 f, \Gamma_0 g)_\mathcal{H} - (\Gamma_0 f, \Gamma_1 g)_\mathcal{H}$$
  trong đó $\mathcal{H}$ là không gian Hilbert phụ đại diện cho không gian biên, $(\cdot, \cdot)_\mathcal{H}$ là tích vô hướng trên $\mathcal{H}$, còn $\Gamma_0$ và $\Gamma_1$ là các toán tử ánh xạ vết tuyến tính từ miền xác định $\operatorname{dom}(A^*)$ vào $\mathcal{H}$.
• Tính toàn ánh của ánh xạ biên: Ánh xạ liên hợp $(\Gamma_0, \Gamma_1): \operatorname{dom}(A^*) \to \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$ là một toàn ánh từ miền xác định $\operatorname{dom}(A^*)$ lên tổng trực tiếp của không gian biên.

Trong cấu trúc này, thác triển tự liên hợp cơ sở $A_0$ được định nghĩa là hạn chế của toán tử $A^*$ trên hạt nhân của toán tử vết thứ nhất:

Toán tử $A_0$ đóng vai trò như một bài toán biên thuần nhất Dirichlet trừu tượng. Khi tham số phổ $\lambda$ thuộc tập chính quy resolvent $\rho(A_0)$, toán tử vết $\Gamma_0$ khi thu hẹp trên không gian khuyết $\mathcal{N}_\lambda = \ker(A^* - \lambda)$ trở thành một đẳng cấu topo song ánh giữa $\mathcal{N}_\lambda$ và không gian biên $\mathcal{H}$.

Trường gamma (gamma-field) $\gamma(\lambda)$ là toán tử ánh xạ ngược từ không gian biên $\mathcal{H}$ vào không gian khuyết $\mathcal{N}_\lambda$, được định nghĩa bởi công thức:

Khi đó, hàm Weyl toán tử $M(\lambda)$ ứng với bộ ba biên $\{\mathcal{H}, \Gamma_0, \Gamma_1\}$ được định nghĩa một cách tường minh qua tác động của toán tử vết thứ hai lên trường gamma: Nói cách khác, với mỗi phần tử nghiệm $f_\lambda \in \ker(A^* - \lambda)$, hàm Weyl liên hệ trực tiếp hai giá trị biên thông qua phương trình: trong đó $\Gamma_0 f_\lambda$ đóng vai trò dữ liệu biên suy rộng loại một và $\Gamma_1 f_\lambda$ là dữ liệu biên suy rộng loại hai.

Một trong những thành tựu sâu sắc nhất của lý thuyết hàm Weyl trong bộ ba biên là công thức giải thức Krein-Naimark. Giả sử $A_\Theta$ là một thác triển tự liên hợp bất kỳ của $A$ tương ứng với điều kiện biên dạng $\Gamma_1 f = \Theta \Gamma_0 f$, trong đó $\Theta$ là một toán tử tự liên hợp (hoặc quan hệ tuyến tính tự liên hợp) trong không gian biên $\mathcal{H}$. Khi đó, toán tử giải thức của $A_\Theta$ được biểu diễn hoàn toàn qua giải thức của $A_0$, trường gamma và hàm Weyl:

với $\bar{\lambda}$ là số phức liên hợp của $\lambda$, và $\gamma(\bar{\lambda})^*$ là toán tử liên hợp của trường gamma. Công thức này chứng minh rằng việc nghịch đảo toán tử vi phân trên toàn bộ miền không gian vô hạn chiều được quy giản chính xác về việc nghịch đảo toán tử trên không gian biên hữu hạn hoặc có số chiều nhỏ hơn thông qua hiệu số $\Theta - M(\lambda)$.

Mối liên hệ với ánh xạ Dirichlet-to-Neumann

Trong phương trình đạo hàm riêng và hình học vi phân, ánh xạ Dirichlet-to-Neumann (thường viết tắt là ánh xạ DN) là đối tượng nghiên cứu căn bản cho các bài toán biên elliptic trên miền đa chiều. Mối liên hệ toán học sâu sắc giữa hàm Weyl và ánh xạ Dirichlet-to-Neumann đã được làm sáng tỏ khi người ta nhận ra ánh xạ DN chính là sự hiện thực hóa hình học của hàm Weyl trừu tượng trong không gian nhiều chiều.

Xét một miền mở, bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ với biên trơn $\partial\Omega$, và xét toán tử vi phân elliptic cấp hai dạng Schrödinger $L = -\Delta + q(x)$, trong đó $\Delta$ là toán tử Laplace nhiều chiều và $q(x)$ là hàm thế năng thực trơn trên bao đóng của miền. Cho tham số phổ phức $\lambda$ không thuộc phổ Dirichlet của bài toán. Với mỗi hàm giá trị biên khả dĩ $\phi \in H^{1/2}(\partial\Omega)$ thuộc không gian Sobolev trên biên, bài toán biên Dirichlet:

có nghiệm duy nhất $u \in H^1(\Omega)$. Ánh xạ Dirichlet-to-Neumann $\Lambda(\lambda)$ được định nghĩa là toán tử đặt tương ứng mỗi giá trị Dirichlet $\phi$ với đạo hàm theo phương pháp tuyến ngoài $\nu$ của nghiệm trên biên: trong đó $\nabla$ là toán tử gradient và $\nu$ là vector pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài biên.

Để thiết lập đồng nhất thức với hàm Weyl, ta xét toán tử đối xứng cực tiểu $A$ sinh bởi $-\Delta + q(x)$ trên không gian các hàm thử khả vi vô hạn triệt tiêu gần biên $C_0^\infty(\Omega)$ trong không gian Hilbert $H = L^2(\Omega)$. Toán tử liên hợp $A^*$ là toán tử cực đại tác động theo nghĩa phân bố. Chọn không gian biên là không gian Hilbert các hàm khả tích bình phương trên biên $\mathcal{H} = L^2(\partial\Omega)$, và định nghĩa các toán tử vết biên Dirichlet và Neumann:

Theo công thức tích phân Green kinh điển, bộ ba $\{L^2(\partial\Omega), \Gamma_0, \Gamma_1\}$ lập thành một bộ ba biên (hoặc bộ ba biên tựa quasi-boundary triplet). Khi đó, hàm Weyl toán tử $M(\lambda)$ của hệ thống này thỏa mãn đẳng thức: Đồng nhất thức này khẳng định rằng ánh xạ Dirichlet-to-Neumann không gì khác hơn chính là hàm Weyl của toán tử vi phân elliptic trên miền đa chiều. Dưới đây là bảng so sánh chi tiết giữa các dạng biểu hiện của hàm Weyl qua các cấp độ lý thuyết:

Đặc trưng so sánh	Hàm m Weyl-Titchmarsh vô hướng	Hàm Weyl toán tử trong bộ ba biên	Ánh xạ Dirichlet-to-Neumann
Miền không gian và toán tử	Không gian một chiều nửa trục vô hạn, phương trình vi phân thường Sturm-Liouville cấp hai	Không gian Hilbert trừu tượng vô hạn chiều, toán tử đối xứng khép kín bất kỳ	Miền không gian đa chiều bị chặn hoặc không bị chặn, toán tử vi phân elliptic đạo hàm riêng
Cấu trúc không gian biên	Không gian số phức một chiều với số chiều đại số bằng một	Không gian Hilbert biên trừu tượng có số chiều bằng chỉ số khuyết của toán tử	Không gian Hilbert các hàm khả tích bình phương trên biên của miền hình học
Bản chất giá trị hàm	Hàm giải tích phức nhận giá trị vô hướng trong nửa mặt phẳng phức trên	Hàm chỉnh hình nhận giá trị trong không gian toán tử tuyến tính bị chặn hoặc quan hệ tuyến tính	Toán tử giả vi phân cấp một tác động giữa các không gian hàm Sobolev trên biên hình học
Dữ liệu biên chuẩn tắc	Giá trị hàm và đạo hàm tại điểm mút gốc tọa độ ban đầu	Các toán tử vết trừu tượng thỏa mãn đồng nhất thức Green đại số	Giá trị hàm trên biên hình học Dirichlet và đạo hàm pháp tuyến ngoài Neumann
Ý nghĩa trong bài toán ngược	Xác định duy nhất hàm thế năng Sturm-Liouville theo định lý Marchenko kinh điển	Xác định lớp toán tử tương đương vị tự và toàn bộ cấu trúc phổ của các thác triển	Xác định hệ số dẫn điện trong bài toán Calderón và các thông số vật liệu bên trong

Hàm Weyl trong bài toán phổ ngược

Bài toán phổ thuận nghiên cứu cấu trúc phổ và giải thức khi đã biết trước toán tử vi phân và các điều kiện biên. Ngược lại, bài toán phổ ngược (inverse spectral problem) đặt mục tiêu khôi phục các hệ số vi phân hoặc thế năng chưa biết từ những thông tin phổ hoặc dữ liệu biên đo đạc được. Trong lĩnh vực này, hàm Weyl đóng vai trò trung tâm vì nó là dữ liệu đầu vào đầy đủ nhất để tái thiết duy nhất mô hình vật lý.

Cột mốc đầu tiên của lý thuyết phổ ngược được thiết lập vào năm 1946 bởi nhà toán học Thụy Điển Göran Borg. Borg đã chứng minh định lý nổi tiếng khẳng định rằng một phổ đơn lẻ của toán tử Sturm-Liouville trên đoạn hữu hạn không đủ để xác định duy nhất thế năng vi phân, nhưng hai phổ ứng với hai điều kiện biên khác nhau tại một đầu mút sẽ xác định duy nhất thế năng $q(x)$. Ngay sau đó, vào năm 1950, nhà toán học Liên Xô Vladimir A. Marchenko đã tạo ra bước ngoặt quyết định khi chứng minh định lý Borg-Marchenko: một hàm m Weyl-Titchmarsh đơn lẻ (hoặc tương đương là độ đo phổ duy nhất) trên nửa trục xác định hoàn toàn và duy nhất thế năng $q(x)$ hầu khắp nơi. Kết quả này của Marchenko cho thấy toàn bộ thông tin về cấu trúc bên trong của một phương trình vi phân được gói gọn hoàn hảo trong phản ứng biên của hàm giải tích Weyl.

Đến năm 2000, F. Gesztesy và B. Simon đã phát triển một phương pháp tiếp cận hiện đại và thiết lập định lý Borg-Marchenko cục bộ. Gesztesy và Simon chứng minh rằng tính chất tiệm cận năng lượng cao của hàm Weyl phản ánh chính xác cấu trúc thế năng tại lân cận của điểm biên. Cụ thể, nếu hai thế năng thực $q_1(x)$ và $q_2(x)$ có các hàm Weyl tương ứng là $m_1(\lambda)$ và $m_2(\lambda)$ thỏa mãn điều kiện suy giảm theo hàm mũ khi tham số phổ tiến ra âm vô cực:

với độ dài tham số $a > 0$, thì hai thế năng đó trùng nhau hầu khắp nơi trên đoạn hữu hạn: Định lý cục bộ này cung cấp một cơ chế giải tích mạnh mẽ: các phép đo hàm Weyl ở dải tần số cao cho phép quét và tái tạo cấu trúc lớp vật liệu từ bề mặt đi sâu dần vào bên trong.

Trong không gian nhiều chiều, bài toán phổ ngược tương ứng là bài toán biên nghịch đảo Calderón, do Alberto P. Calderón đề xuất vào năm 1980. Calderón đặt vấn đề liệu có thể xác định hệ số dẫn điện bên trong một vật thể nếu chỉ biết toàn bộ các cặp điện áp và dòng điện trên bề mặt. Năm 1987, John Sylvester và Gunther Uhlmann đã giải quyết trọn vẹn bài toán này cho các môi trường có độ dẫn điện trơn trong không gian từ ba chiều trở lên. Sylvester và Uhlmann chứng minh rằng ánh xạ Dirichlet-to-Neumann xác định duy nhất hệ số dẫn điện. Do ánh xạ DN chính là hàm Weyl nhiều chiều, kết quả kinh điển này khẳng định tính phổ quát của hàm Weyl như một cầu nối toán học giữa dữ liệu biên và cấu trúc môi trường nội tại.

Ứng dụng trong vật lý toán và cơ học lượng tử

Hàm Weyl không chỉ là một công cụ lý thuyết trừu tượng mà còn xuất hiện tự nhiên trong nhiều mô hình vật lý thực nghiệm và kỹ thuật ứng dụng cao:

• Cơ học lượng tử và tán xạ: Trong phương trình Schrödinger mô tả các hạt lượng tử tán xạ trên một thế năng, hàm Weyl liên hệ trực tiếp với ma trận tán xạ và các độ dịch pha. Khi kéo dài giải tích hàm Weyl sang các tờ Riemann thứ hai qua vết cắt phổ liên tục trên trục thực, các điểm cực của hàm giải tích tương ứng với các trạng thái cộng hưởng lượng tử (quantum resonances). Phần thực của cực xác định mức năng lượng cộng hưởng, trong khi phần ảo của cực tỷ lệ nghịch với thời gian sống của trạng thái giả dừng đó.
• Âm học và sóng điện từ: Đối với phương trình truyền sóng Helmholtz mô tả sóng âm thanh trong chất lỏng hoặc sóng điện từ trong môi trường điện môi, hàm Weyl mô tả toán tử tổng trở âm học hoặc toán tử dẫn nạp trên mặt phân cách. Việc phân tích hàm Weyl cho phép thiết kế các bề mặt hấp thụ sóng âm hoặc các lớp phủ tàng hình sóng điện từ (metamaterials).
• Chụp cắt lớp trở kháng điện (Electrical Impedance Tomography, EIT): EIT là kỹ thuật chẩn đoán hình ảnh y sinh tiên tiến, không sử dụng bức xạ ion hóa. Bằng cách gắn một chuỗi các điện cực lên bề mặt cơ thể (ví dụ lồng ngực người bệnh), thiết bị bơm các dòng điện tần số thấp an toàn và đo điện thế sinh ra. Thuật toán tái tạo hình ảnh thực chất là giải bài toán ngược cho ánh xạ Dirichlet-to-Neumann (hàm Weyl biên) để dựng lại bản đồ độ dẫn điện của phổi và tim, phục vụ theo dõi liên tục chức năng thông khí tại giường bệnh cấp cứu.
• Mạng lượng tử và cấu trúc nano: Trên các đồ thị metric mô tả cấu trúc phân tử, ống nano carbon hoặc tinh thể quang tử (photonic crystals), việc nối ghép các nhánh vi phân được thực hiện qua điều kiện biên tại các nút mạng. Hàm Weyl của đồ thị metric mã hóa cấu trúc vùng năng lượng (band structure) và giải thích các hiện tượng dẫn sóng lượng tử phức tạp.

Hạn chế và các vấn đề mở

Mặc dù lý thuyết hàm Weyl đã đạt được nhiều thành tựu rực rỡ, các nhà toán học và kỹ sư vẫn đang đối mặt với nhiều thách thức và ranh giới nghiên cứu mở:

• Tính đặt không chỉnh và độ ổn định logarit: Trong các bài toán ngược nhiều chiều dựa trên hàm Weyl và ánh xạ DN, việc tái thiết thế năng hoặc độ dẫn điện có tính chất đặt không chỉnh nghiêm trọng (severely ill-posed). Độ ổn định tái thiết thường chỉ đạt mức logarit, nghĩa là một sai số thực nghiệm rất nhỏ trên dữ liệu biên sẽ bị khuếch đại theo hàm mũ khi tiến sâu vào tâm của miền nghiên cứu. Việc xây dựng các thuật toán điều chuẩn tối ưu nhằm khắc phục hạn chế này vẫn là chủ đề nghiên cứu sôi động trong giải tích số.
• Miền biên có độ trơn thấp và biên fractal: Khi miền không gian có biên chỉ thỏa mãn điều kiện Lipschitz hoặc có cấu trúc phân mảnh tự đồng dạng (fractal), các định lý nhúng Sobolev thông thường không còn áp dụng được trực tiếp cho toán tử vết Neumann. Điều này thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết bộ ba biên tựa (quasi-boundary triplets) và bộ ba biên tổng quát theo hướng nghiên cứu được Behrndt, Hassi và de Snoo hệ thống hóa năm 2020.
• Hệ tiêu tán và toán tử phi tự liên hợp: Trong các hệ vật lý lượng tử mở có trao đổi năng lượng với môi trường ngoài, toán tử vi phân không còn là toán tử đối xứng thực mà là toán tử tiêu tán phi tự liên hợp. Khi đó, các chỉ số khuyết có thể không đối xứng hoặc hàm Weyl không còn giữ tính chất Herglotz thông thường, đòi hỏi sự kết hợp phức tạp với lý thuyết không gian Krein và bài toán mở rộng toán tử mà Derkach và Malamud đã khởi xướng từ năm 1995.
• Dữ liệu biên không đầy đủ (bài toán biên cục bộ): Trong nhiều ứng dụng thực tế, người ta không thể đặt đầu dò trên toàn bộ bề mặt biên mà chỉ có thể đo đạc trên một phần biên hở. Việc khôi phục hàm Weyl toàn cục từ thông tin biên cục bộ dẫn đến những bài toán giải tích điều hòa và lý thuyết hàm phức đa biến vô cùng tinh vi hiện vẫn đang được nghiên cứu tích cực.