Communications on Pure and Applied Mathematics

Chúng tôi xây dựng các cơ sở chính quy của sóng có hỗ trợ giới hạn, với độ mượt mà cực cao. Bậc mượt mà tăng lên theo phương pháp tuyến tính với độ rộng của hỗ trợ. Chúng tôi bắt đầu bằng việc xem xét khái niệm phân tích đa độ phân giải cũng như một số thuật toán trong việc phân tích và tái tạo hình ảnh. Việc xây dựng sau đó dựa trên sự tổng hợp của các phương pháp khác nhau này.

Giả sử chúng ta muốn khôi phục một vector x₀ ∈ ℝ^𝓂 (ví dụ, một tín hiệu số hoặc hình ảnh) từ các quan sát không đầy đủ và bị ô nhiễm y = A x₀ + e; A là một ma trận 𝓃 × 𝓂 với số hàng ít hơn nhiều so với số cột (𝓃 ≪ 𝓂) và e là một hạng mục lỗi. Liệu có thể khôi phục chính xác x₀ dựa trên dữ liệu y không?

Để khôi phục x₀, chúng tôi xem xét giải pháp x^# cho vấn đề chuẩn hóa 𝓁₁ trong đó ϵ là kích thước của hạng mục lỗi e. Chúng tôi chỉ ra rằng nếu A tuân theo một nguyên lý không chắc chắn đồng nhất (với các cột có chuẩn đơn vị) và nếu vector x₀ đủ thưa thớt, thì giải pháp nằm trong mức độ nhiễu

Ví dụ đầu tiên, giả sử rằng A là một ma trận ngẫu nhiên Gaussian; thì việc khôi phục ổn định xảy ra đối với hầu hết các A như vậy với điều kiện rằng số lượng các phần tử không bằng 0 của x₀ khoảng cùng một thứ tự với số lượng quan sát. Như là một ví dụ thứ hai, giả sử người ta quan sát một vài mẫu Fourier của x₀; thì việc khôi phục ổn định xảy ra cho hầu hết mọi tập hợp 𝓃 hệ số với điều kiện rằng số lượng phần tử không bằng 0 có thứ tự khoảng 𝓃/(log 𝓂)⁶.

Trong trường hợp hạng mục lỗi biến mất, việc khôi phục tất nhiên là chính xác, và công trình này thực sự cung cấp những cái nhìn mới vào hiện tượng khôi phục chính xác được thảo luận trong các tài liệu trước đó. Phương pháp này cũng giải thích lý do tại sao người ta có thể khôi phục rất gần như tín hiệu thưa thớt xấp xỉ. © 2006 Wiley Periodicals, Inc.

Chúng tôi xem xét các bài toán nghịch đảo tuyến tính, trong đó giả định rằng nghiệm có khai triển thưa thớt trên một cơ sở trực chuẩn đã được định trước. Chúng tôi chứng minh rằng việc thay thế các hình phạt điều hòa bình thường bằng các hình phạt 𝓁^p-được trọng số trên các hệ số của những khai triển như vậy, với 1 ≤ p ≤ 2, vẫn điều hòa hóa bài toán. Việc sử dụng các bài toán bị phạt 𝓁^p với p < 2 thường được khuyến nghị khi người ta kỳ vọng rằng nghiệm lý tưởng không có nhiễu sẽ có khai triển thưa thớt tương ứng với cơ sở được xem xét. Để tính toán các nghiệm điều hòa tương ứng, chúng tôi phân tích một thuật toán lặp mà tương đương với một lần lặp Landweber với ngưỡng hóa (hoặc co lại phi tuyến) được áp dụng ở mỗi bước lặp. Chúng tôi chứng minh rằng thuật toán này hội tụ trong chuẩn. © 2004 Wiley Periodicals, Inc.

Các cơ sở trực chuẩn của các cơ sở sóng có hỗ trợ giới hạn tương ứng với các sơ đồ mã hóa phân tầng có khả năng tái tạo chính xác, trong đó bộ lọc phân tích và tổng hợp trùng nhau. Chúng tôi cho thấy rằng, dưới các điều kiện khá tổng quát, các sơ đồ tái tạo chính xác với các bộ lọc tổng hợp khác với các bộ lọc phân tích tạo ra hai cơ sở Riesz đối ngẫu của các sóng có hỗ trợ giới hạn. Chúng tôi đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính biorthogonal của các hàm tỷ lệ tương ứng, và chúng tôi trình bày các điều kiện đủ cho sự suy giảm của các biến đổi Fourier của chúng. Chúng tôi nghiên cứu tính đều đặn của các cơ sở biorthogonal này. Chúng tôi cung cấp một số họ ví dụ, tất cả các ví dụ đều đối xứng (tương ứng với các bộ lọc "giai điệu tuyến tính"). Đặc biệt, chúng tôi có thể xây dựng các cơ sở sóng biorthogonal đối xứng có tính đều đặn cao được chỉ định trước tùy ý; chúng tôi cũng cho thấy cách xây dựng các cơ sở sóng biorthogonal đối xứng "gần" với một cơ sở trực chuẩn (không đối xứng).