Scholar Hub/Chủ đề/#phương trình schrödinger/
Phương trình Schrödinger là phương trình nền tảng của cơ học lượng tử, mô tả trạng thái lượng tử của một hệ qua hàm sóng. Nó cho biết xác suất tìm thấy hạt tại vị trí và thời điểm nhất định, thay thế cách tiếp cận xác định tuyệt đối của cơ học cổ điển.
Phương trình Schrödinger là gì?
Phương trình Schrödinger (Schrödinger equation) là phương trình cơ bản trong cơ học lượng tử, dùng để mô tả sự tiến triển theo thời gian của trạng thái lượng tử của một hệ vật lý. Đây là một trong những thành tựu nền tảng của vật lý hiện đại, được nhà vật lý người Áo Erwin Schrödinger công bố vào năm 1926. Phương trình này đã thay đổi hoàn toàn cách con người hiểu về thế giới vi mô, nơi mà các định luật vật lý cổ điển không còn áp dụng chính xác.
Khác với cơ học cổ điển vốn mô tả vị trí và vận tốc của vật thể theo thời gian, phương trình Schrödinger mô tả xác suất tồn tại của một hạt trong không gian và thời gian thông qua một hàm sóng. Đây là công cụ cốt lõi để hiểu hiện tượng lượng tử như lượng tử hóa năng lượng, hiệu ứng đường hầm, hay tính không xác định của trạng thái hạt.
Dạng tổng quát của phương trình Schrödinger
Dạng tổng quát (phụ thuộc thời gian) của phương trình Schrödinger được viết như sau:
- : Hàm sóng phụ thuộc vào vị trí và thời gian
- : Toán tử Hamilton – biểu diễn tổng năng lượng (động năng + thế năng)
- : Hằng số Planck rút gọn
- : Đơn vị ảo, với
Phương trình Schrödinger độc lập thời gian
Khi hệ vật lý không thay đổi theo thời gian (hệ tĩnh), ta có thể sử dụng dạng độc lập thời gian của phương trình:
Đây là bài toán giá trị riêng với là mức năng lượng riêng ứng với trạng thái . Các nghiệm của phương trình sẽ cho ra các mức năng lượng rời rạc – đặc trưng của hệ lượng tử.
Cấu trúc của toán tử Hamilton
Trong hệ đơn giản, chẳng hạn như một hạt khối lượng trong thế năng , Hamiltonian có dạng:
Trong đó là toán tử Laplace, biểu diễn sự thay đổi của hàm sóng theo không gian ba chiều.
Ý nghĩa vật lý của hàm sóng
Hàm sóng là một đại lượng phức, nhưng không phải là giá trị có thể đo trực tiếp. Thay vào đó, xác suất tìm thấy hạt tại vị trí và thời điểm được xác định bằng:
Điều này phản ánh bản chất xác suất của cơ học lượng tử, khác với cơ học cổ điển nơi các đại lượng vật lý được xác định tuyệt đối.
Ví dụ ứng dụng
1. Hạt trong giếng thế năng
Bài toán “hạt trong hộp” với chiều dài có nghiệm hàm sóng và mức năng lượng:
Cho thấy rằng năng lượng không thay đổi liên tục mà bị lượng tử hóa – chỉ có thể nhận giá trị rời rạc.
2. Nguyên tử hydro
Giải phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydrogen cho ta các mức năng lượng chính xác:
Phù hợp hoàn toàn với phổ phát xạ và hấp thụ thực nghiệm của nguyên tử hydro – một thành công lớn của cơ học lượng tử.
3. Hiệu ứng đường hầm lượng tử
Một hạt có thể "xuyên qua" rào thế năng mà năng lượng của nó thấp hơn rào, điều không thể xảy ra trong cơ học cổ điển. Điều này giải thích sự phân rã phóng xạ alpha và nguyên lý hoạt động của thiết bị tunnel diode.
So sánh với cơ học cổ điển
Trong cơ học cổ điển, trạng thái của một hệ được xác định bởi vị trí và vận tốc tại một thời điểm. Trong cơ học lượng tử, trạng thái được xác định bởi hàm sóng, và kết quả đo là xác suất.
Một hệ quả quan trọng là nguyên lý bất định Heisenberg:
Cho thấy không thể đồng thời biết chính xác vị trí và động lượng của một hạt.
Mở rộng và giới hạn
Phương trình Schrödinger không áp dụng cho các hệ relativistic (vận tốc gần tốc độ ánh sáng). Khi đó, cần dùng đến phương trình Dirac hoặc Klein-Gordon:
Ngoài ra, các dạng mở rộng như phương trình Schrödinger phi tuyến cũng được dùng trong mô hình soliton, hệ quang học và chất siêu lỏng.
Vai trò trong khoa học và công nghệ
Phương trình Schrödinger là nền tảng cho nhiều lĩnh vực ứng dụng:
- Hóa học lượng tử: Dự đoán cấu trúc phân tử và phản ứng hóa học
- Vật lý chất rắn: Phân tích vật liệu, chất bán dẫn, điện tử học
- Công nghệ lượng tử: Cơ sở cho máy tính lượng tử, cảm biến lượng tử, mã hóa lượng tử
Tài liệu tham khảo
Một bộ tích phân bậc hai với độ chính xác thấp cho phương trình Schrödinger phi tuyến Dịch bởi AI Advances in Continuous and Discrete Models - Tập 2022 Số 1 - 2022
Tóm tắtTrong bài báo này, chúng tôi phân tích một bộ tích phân mới theo kiểu mũ cho phương trình Schrödinger phi tuyến bậc ba trên torus nhiều chiều d $\mathbb{T}^{d}$
T
d
. Phương pháp này cũng đã được phát triển gần đây trong một bối cảnh rộng hơn của các cây trang trí (Bruned et al. trong Forum Math. Pi 10:1–76, 2022). Phương pháp này là rõ ràng và hiệu quả trong việc triển khai. Tại đây, chúng tôi trình bày một cách phát sinh khác và đưa ra phân tích sai số nghiêm ngặt. Cụ thể, chúng tôi chứng minh sự hội tụ bậc hai trong $H^{\gamma }(\mathbb{T}^{d})$
H
γ
(
T
d
)
cho dữ liệu ban đầu trong $H^{\gamma +2}(\mathbb{T}^{d})$
H
γ
+
2
(
T
d
)
cho bất kỳ $\gamma > d/2$
γ
>
d
/
2
. Điều này cải thiện công trình trước đó (Knöller et al. trong SIAM J. Numer. Anal. 57:1967–1986, 2019).
Thiết kế của phương pháp dựa trên một phương pháp mới để xấp xỉ tương tác tần số phi tuyến. Điều này cho phép chúng tôi xử lý cấu trúc cộng hưởng phức tạp trong các chiều tùy ý. Các thí nghiệm số phù hợp với kết quả lý thuyết bổ sung cho công trình này.
Tính đủ điều kiện của phương trình Schrödinger phi tuyến một chiều trong không gian điều chế Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 29 Số 1 - 2023
Tóm tắtChúng tôi chứng minh các kết quả mới về tính đủ điều kiện địa phương và toàn cục cho phương trình Schrödinger phi tuyến một chiều bậc ba trong các không gian điều chế. Các kết quả địa phương được thu được thông qua nội suy đa tuyến. Các kết quả toàn cục được chứng minh bằng cách sử dụng các đại lượng bảo toàn dựa trên tính tích phân hoàn chỉnh của phương trình, tính bền vững của quy luật, và bằng cách tách biệt sự tiến hóa theo thời gian của một số hữu hạn các bước lặp Picard.
#Phương trình Schrödinger phi tuyến #không gian điều chế #tính đủ điều kiện #nội suy đa tuyến #đại lượng bảo toàn
Phương pháp thời gian ảo giải số phương trình Schrödinger dừng Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 Bằng cách áp dụng phương pháp thời gian ảo cho một số dạng thế năng khác nhau như dao động tử điều hòa và phi điều hòa, chúng tôi đã thu được năng lượng và hàm sóng của phương trình Schrödinger dừng. Việc so sánh kết quả với phương pháp lí thuyết nhiễu loạn và phương pháp toán tử đã cho phép chúng tôi kết luận phương pháp thời gian ảo rất hiệu quả, cho kết quả chính xác cho việc giải số phương trình Schrödinger dừng.
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:"Table Normal";
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-parent:"";
mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt;
mso-para-margin:0in;
mso-para-margin-bottom:.0001pt;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:10.0pt;
font-family:"Times New Roman";
mso-ansi-language:#0400;
mso-fareast-language:#0400;
mso-bidi-language:#0400;}
#phương pháp thời gian ảo #phương trình Schrödinger #giải số
Phương trình Schrödinger phi tuyến tổng quát với phi tuyến logarithm và sóng cô đơn Gaussian của nó Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 56 Số 6
Tóm tắtTrong bài báo hiện tại, một phương trình Schrödinger phi tuyến tổng quát (gNLS) với phi tuyến logarithm được nghiên cứu như một mô hình cho sự lan truyền của các xung quang. Cụ thể hơn, sau khi áp dụng một giả thuyết cụ thể cho nghiệm của phương trình điều khiển, sóng cô đơn Gaussian của nó được khôi phục bằng phương pháp ansatz. Một số mô phỏng số trong các tư thế hai và ba chiều được trình bày để điều tra tác động của các tham số vật lý khác nhau trên động học của sóng cô đơn Gaussian. Các kết quả xác nhận rằng các tham số vật lý của phương trình gNLS đóng một vai trò quan trọng trong việc điều khiển động học của sóng cô đơn Gaussian.
Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho ion H+2 hai chiều
v\:* {behavior:url(#default#VML);}
o\:* {behavior:url(#default#VML);}
w\:* {behavior:url(#default#VML);}
.shape {behavior:url(#default#VML);}
Phương pháp toán tử FK được sử dụng để xác định nghiệm của phương trình Schrödinger cho ion hai chiều. Đã thu được năng lượng của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thấp ứng với các khoảng cách liên hạt nhân khác nhau với độ chính xác là hai chữ số thập phân. Kết quả này cần thiết cho các phân tích để phát triển phương pháp. Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:"Table Normal";
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-priority:99;
mso-style-parent:"";
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin:0cm;
mso-para-margin-bottom:.0001pt;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:10.0pt;
font-family:"Times New Roman","serif";}
#phương pháp toán tử FK #phương trình Schrödinger #năng lượng #ion phân tử hydro #hai chiều
Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho ion H+2 hai chiều
v\:* {behavior:url(#default#VML);}
o\:* {behavior:url(#default#VML);}
w\:* {behavior:url(#default#VML);}
.shape {behavior:url(#default#VML);}
Phương pháp toán tử FK được sử dụng để xác định nghiệm của phương trình Schrödinger cho ion hai chiều. Đã thu được năng lượng của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thấp ứng với các khoảng cách liên hạt nhân khác nhau với độ chính xác là hai chữ số thập phân. Kết quả này cần thiết cho các phân tích để phát triển phương pháp. Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:"Table Normal";
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-priority:99;
mso-style-parent:"";
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin:0cm;
mso-para-margin-bottom:.0001pt;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:10.0pt;
font-family:"Times New Roman","serif";}
#phương pháp toán tử FK #phương trình Schrödinger #năng lượng #ion phân tử hydro #hai chiều
Cụm sóng lừa Kuznetsov–Ma của phương trình Schrödinger phi tuyến Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - - 2023
Tóm tắtTrong công trình này, chúng tôi điều tra các cụm sóng lừa (RW) có hình dạng khác nhau, bao gồm các soliton Kuznetsov–Ma (KMS) từ phương trình Schrödinger phi tuyến (NLSE) với phi tuyến Kerr. Chúng tôi trình bày ba loại nghiệm chính xác bậc cao trên nền tảng đồng nhất được tính toán bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi Darboux (DT) với các tham số được chọn một cách chính xác. Phân lớp nghiệm đầu tiên có đặc trưng là các đỉnh cường độ mạnh và hẹp được lặp lại dọc theo trục tiến hóa x, khi các trị riêng trong phương pháp DT tạo ra các KMS với tần số tương ứng. Phân lớp nghiệm thứ hai thể hiện một dạng cụm sóng lừa hình elip; nó được suy ra từ phân lớp nghiệm đầu tiên khi các dịch chuyển tiến hóa đầu tiên m trong phương pháp DT bậc n là khác không và bằng nhau. Chúng tôi chỉ ra rằng các đỉnh cường độ cao xây dựng trên các KMS có bậc $$n-2m$$
n
-
2
m
xuất hiện định kỳ dọc theo trục x. Cấu trúc này, được coi như sóng lừa trung tâm, được bao quanh bởi m hình elip bao gồm một số lượng nhất định các KMS bậc nhất được xác định bởi chỉ số elip và bậc của nghiệm. Phân lớp cụm KMS thứ ba được thu được khi các trị riêng DT thực tế tưởng tượng có xu hướng đến một giá trị bù lớn hơn một, trong khi giữ nguyên các dịch chuyển x. Chúng tôi cho thấy sóng lừa trung tâm tại (0, 0) luôn duy trì thứ bậc $$n-2m$$
n
-
2
m
của nó. Các đuôi n được tạo thành từ các KMS bậc đầu tiên được hình thành ở trên và dưới cực đại trung tâm. Khi n là số chẵn, các mẫu phức tạp hơn được tạo ra, với m và $$m-1$$
m
-
1
các vòng trên và dưới sóng lừa trung tâm, tương ứng. Cuối cùng, chúng tôi tính toán một lớp nghiệm bổ sung trên một nền sóng gợn, được xác định bởi hàm dnoidal elliptic Jacobi, hiển thị các mẫu cường độ cụ thể phù hợp với sự nhiễu loạn gợn trên nền. Công trình này chứng minh sức mạnh phi thường của phương pháp DT trong việc tạo ra các nghiệm mới của NLSE và sự phong phú to lớn trong hình thức và chức năng của những nghiệm đó.
Phương pháp giảm tương tự và các nghiệm sóng mới cho phương trình Schrödinger lập phương ngẫu nhiên 2D với nhiễu trắng nhân hồi sinh trong quang học Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 56 - Trang 1-13 - 2023
Trong bài báo này, chúng tôi đã nghiên cứu phương trình Schrödinger lập phương (2+1) chiều với nhiễu trắng nhân và phân tán không-thời gian, được coi là mô hình của việc chuyển giao năng lượng trong một tập hợp phân tử lớp đơn qua sự tồn tại của các sự dao động nhiệt và có nhiều ứng dụng trong truyền thông quang học và công nghệ cảm biến. Phương pháp giảm tương tự trực tiếp được sử dụng để tìm một phép biến đổi phù hợp nhằm giảm phương trình thành một phương trình vi phân bất định (NODE) phi tuyến. Sau đó, NODE đã được giảm này được giải bằng cách sử dụng phương pháp mở rộng F vì đây là một phương pháp hiệu quả với nhiều loại nghiệm khác nhau và theo đó nhiều dạng nghiệm sóng ngẫu nhiên khác nhau như nghiệm chu kỳ, nghiệm kink và nghiệm soliton sáng đã được tìm thấy. Các nghiệm thu được bao gồm cả các nghiệm đã được đưa ra trước đó trong tài liệu và cũng các nghiệm mới khác. Thêm vào đó, các cấu trúc sóng ngẫu nhiên khác nhau đã được vẽ để phân biệt giữa trường hợp xác định và trường hợp ngẫu nhiên. Cuối cùng, chúng tôi có thể kết luận rằng hai phương pháp là phương pháp giảm tương tự và phương pháp mở rộng F đều đơn giản và có thể áp dụng cho các phương trình vi phân riêng phần ngẫu nhiên khác.
#phương trình Schrödinger lập phương #nhiễu trắng nhân #phân tán không-thời gian #phương pháp giảm tương tự #phương pháp mở rộng F #nghiệm sóng ngẫu nhiên #truyền thông quang học #công nghệ cảm biến
Phương trình Schrödinger phi tuyến đa thành phần với điều kiện biên không đổi Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 159 - Trang 787-795 - 2009
Chúng tôi phác thảo một số vấn đề cụ thể liên quan đến lý thuyết của các phương trình Schrödinger phi tuyến đa thành phần với điều kiện biên không đổi. Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu các đặc tính phổ của toán tử Lax L, cấu trúc của không gian pha \(\mathcal{M}\) và việc xây dựng các giải pháp phân tích cơ bản. Sau đó, chúng tôi xem xét các quan hệ Wronskian đã được điều chỉnh, cho phép phân tích mối quan hệ giữa thế năng của L và dữ liệu tán xạ. Cách diễn đạt Hamilton cũng yêu cầu một quy trình điều chỉnh.
#phương trình Schrödinger phi tuyến #điều kiện biên không đổi #toán tử Lax #không gian pha #giải pháp phân tích cơ bản #quan hệ Wronskian #điều chỉnh #cách diễn đạt Hamilton