Một bộ tích phân bậc hai với độ chính xác thấp cho phương trình Schrödinger phi tuyến

Advances in Continuous and Discrete Models - Tập 2022 Số 1 - 2022
Alexander Ostermann1, Fangyan Yao2, Yifei Wu3
1Department of Mathematics, University of Innsbruck, Technikerstraße 13, 6020 Innsbruck, Austria
2Center for Applied Mathematics, Tianjin University, 300072 Tianjin, China
3School of Mathematical Sciences, South China University of Technology, Guangzhou, Guangdong, 510640, P.R. China

Tóm tắt

Tóm tắt

Trong bài báo này, chúng tôi phân tích một bộ tích phân mới theo kiểu mũ cho phương trình Schrödinger phi tuyến bậc ba trên torus nhiều chiều d $\mathbb{T}^{d}$ T d . Phương pháp này cũng đã được phát triển gần đây trong một bối cảnh rộng hơn của các cây trang trí (Bruned et al. trong Forum Math. Pi 10:1–76, 2022). Phương pháp này là rõ ràng và hiệu quả trong việc triển khai. Tại đây, chúng tôi trình bày một cách phát sinh khác và đưa ra phân tích sai số nghiêm ngặt. Cụ thể, chúng tôi chứng minh sự hội tụ bậc hai trong $H^{\gamma }(\mathbb{T}^{d})$ H γ ( T d ) cho dữ liệu ban đầu trong $H^{\gamma +2}(\mathbb{T}^{d})$ H γ + 2 ( T d ) cho bất kỳ $\gamma > d/2$ γ > d / 2 . Điều này cải thiện công trình trước đó (Knöller et al. trong SIAM J. Numer. Anal. 57:1967–1986, 2019).

Thiết kế của phương pháp dựa trên một phương pháp mới để xấp xỉ tương tác tần số phi tuyến. Điều này cho phép chúng tôi xử lý cấu trúc cộng hưởng phức tạp trong các chiều tùy ý. Các thí nghiệm số phù hợp với kết quả lý thuyết bổ sung cho công trình này.

Từ khóa


Tài liệu tham khảo

Besse, C., Bidégaray, B., Descombes, S.: Order estimates in time of splitting methods for the nonlinear Schrödinger equation. SIAM J. Numer. Anal. 40, 26–40 (2002)

Bourgain, J.: Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations. I. Schrödinger equations. Geom. Funct. Anal. 3, 107–156 (1993)

Bruned, Y., Schratz, K.: Resonance based schemes for dispersive equations via decorated trees. Forum Math. Pi 10, 1–76 (2022)

Cano, B., González-Pachón, A.: Exponential time integration of solitary waves of cubic Schrödinger equation. Appl. Numer. Math. 91, 26–45 (2015)

Celledoni, E., Cohen, D., Owren, B.: Symmetric exponential integrators with an application to the cubic Schrödinger equation. Found. Comput. Math. 8, 303–317 (2008)

Cohen, D., Gauckler, L.: One-stage exponential integrators for nonlinear Schrödinger equations over long times. BIT Numer. Math. 52, 877–903 (2012)

Colliander, J., Keel, M., Staffilani, G., Takaoka, H., Tao, T.: Multilinear estimates for periodic KdV equations, and applications. J. Funct. Anal. 211, 173–218 (2004)

Dujardin, G.: Exponential Runge–Kutta methods for the Schrödinger equation. Appl. Numer. Math. 59, 1839–1857 (2009)

Faou, E.: Geometric Numerical Integration and Schrödinger Equations. Eur. Math. Soc., Zurich (2012)

Hairer, E., Lubich, C., Wanner, G.: Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, 2nd edn. Springer, Berlin (2006)

Hochbruck, M., Ostermann, A.: Exponential integrators. Acta Numer. 19, 209–286 (2010)

Holden, H., Karlsen, K.H., Lie, K.-A., Risebro, N.H.: Splitting for Partial Differential Equations with Rough Solutions. Eur. Math. Soc., Zurich (2010)

Ignat, L.I.: A splitting method for the nonlinear Schrödinger equation. J. Differ. Equ. 250, 3022–3046 (2011)

Jahnke, T., Lubich, C.: Error bounds for exponential operator splittings. BIT Numer. Math. 40, 735–744 (2000)

Kato, T., Ponce, G.: Commutator estimates and the Euler and Navier–Stokes equations. Commun. Pure Appl. Math. 41, 891–907 (1988)

Knöller, M., Ostermann, A., Schratz, K.: A Fourier integrator for the cubic nonlinear Schrödinger equation with rough initial data. SIAM J. Numer. Anal. 57, 1967–1986 (2019)

Lubich, C.: On splitting methods for Schrödinger–Poisson and cubic nonlinear Schrödinger equations. Math. Comp. 77, 2141–2153 (2008)

McLachlan, R.I., Quispel, G.R.W.: Splitting methods. Acta Numer. 11, 341–434 (2002)

Ostermann, A., Schratz, K.: Low regularity exponential-type integrators for semilinear Schrödinger equations. Found. Comput. Math. 18, 731–755 (2018)

Sulem, C., Sulem, P.-L.: The Nonlinear Schrödinger Equation. Self-Focusing and Wave Collapse. Springer, New York (1999)

Thalhammer, M.: Convergence analysis of high-order time-splitting pseudo-spectral methods for nonlinear Schrödinger equations. SIAM J. Numer. Anal. 50, 3231–3258 (2012)

Wu, Y., Yao, F.: A first-order Fourier integrator for the nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{T}$ without loss of regularity. Math. Comp. https://doi.org/10.1090/mcom/3705

Thông tin
Thông tin xuất bản

Advances in Continuous and Discrete Models

Tập 2022 Số 1

Thông tin tác giả