Đại số Lie (Lie algebra) là một không gian vectơ trên một trường cùng với một phép toán hai ngôi gọi là ngoặc Lie [·, ·] thỏa mãn tính chất phản đối xứng và đồng nhất thức Jacobi, biểu diễn không gian tiếp xúc tại phần tử đơn vị của một nhóm Lie.. Đại số Lie là
Liên algebra là một nhánh trong toán học nghiên cứu các phép toán tuyến tính trên không gian vector. Nó tập trung vào việc nghiên cứu các phép toán, tính chất và cấu trúc của các biến đổi tuyến tính thông qua các phép toán đại số trên các phần tử của các không gian vector. Liên algebra có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như vật lý lý thuyết, hóa học lý thuyết, lý thuyết tối ưu, cơ học lượng tử và lý thuyết điều khiển. Liên algebra (Lie algebra) là một cấu trúc đại số trên một không gian vectơ, tập trung vào nghiên cứu các biểu đạt tuyến tính của các phép toán. Nó nhằm mô tả và nghiên cứu các phép biến đổi tuyến tính, ví dụ như các phép xoay, dịch chuyển hay co biến, và cách chúng tương tác với nhau.
Một liên algebra gồm một không gian vectơ, thường được ký hiệu là L, và một phép toán hai ngôi được gọi là phép ngoại đồ (bracket), thường được ký hiệu là [,]. Phép toán này có một số tính chất cần tuân theo, bao gồm tính chất tuyến tính và tính chất Jacobi. Tính chất Jacobi chỉ ra rằng phép ngoại đồ thỏa mãn tính chất kép phân phối.
Một phần tử trong liên algebra được gọi là một phần tử của không gian Lie algebra hay đơn giản là phần tử Liên. Phần tử Liên thường được mô tả dưới dạng một vectơ, và các phép toán trên phần tử Liên được thực hiện thông qua phép ngoại đồ. Nói cách khác, phép toán ngoại đồ cho phép ta tính toán sự tương tác giữa các phần tử Liên.
Một trong những khía cạnh quan trọng của liên algebra là khái niệm của phép toán ngoại đồ được gọi là đạo hàm Lie. Đạo hàm Lie cho phép ta xem xét sự biến đổi của các phần tử Liên dưới sự tác động của phép toán ngoại đồ.
Liên algebra có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, trong vật lý lý thuyết, liên algebra được sử dụng để mô tả các đại lượng vật lý và các biến đổi tương ứng của chúng. Trong hóa học lý thuyết, liên algebra được áp dụng để nghiên cứu các quy tắc đối xứng và các phép biến đổi liên quan đến cấu trúc phân tử. Nó cũng được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển và cơ học lượng tử.
Tổng kết lại, liên algebra là một nhánh của toán học nghiên cứu các phép toán tuyến tính trên không gian vector, nhằm mô tả và nghiên cứu các biến đổi tuyến tính và cấu trúc của chúng. Nó có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau.