Springer Science and Business Media LLC

Chúng tôi trình bày một đặc trưng hoàn chỉnh về sự thu gọn hình méo của không gian $$L_{p}$$Lp cho $$1\le p < \infty $$1≤p<∞. Mỗi thành phần của sự thu gọn hình méo của $$L_{p}$$Lp được thể hiện bằng một phép đo ngẫu nhiên trên một không gian Ba lan nhất định. Để minh họa, chúng tôi xem lại định lý ergodic trung bình $$L_{p}$$Lp cho $$1< p < \infty $$1<p<∞ và ví dụ của Alspach về một phép đồng nhất trên một tập hợp lồi compact yếu trong $$L_{1}$$L1 mà không có điểm cố định.

In this paper, we study the solution of the quadratic equation$$TY^2-Y+I=0$$TY2-Y+I=0whereTis a linear and bounded operator on a Banach spaceX. We describe the spectrum set and the resolvent operator ofYin terms of the ones ofT. In the case that 4Tis a power-bounded operator, we show that a solution (named Catalan generating function) of the above equation is given by the Taylor series$$\begin{aligned} C(T):=\sum _{n=0}^\infty C_nT^n, \end{aligned}$$C(T):=∑n=0∞CnTn,where the sequence$$(C_n)_{n\ge 0}$$(Cn)n≥0is the well-known Catalan numbers sequence. We expressC(T) by means of an integral representation which involves the resolvent operator$$(\lambda T)^{-1}$$(λT)-1. Some particular examples to illustrate our results are given, in particular an iterative method defined for square matricesTwhich involves Catalan numbers.