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Représentation des classes d'éléments différentiels de l'espace projectif àn dimensions pour lesquelles le groupe projectif opère transitivement. La méthode suivie se base sur le fait que chaque classe est un espace algébrique homogène par rapport au groupe linéaire sqécial à (n+1) variables.

Dans cet article dédié à illustre mathéamticienBeniamino Segre je me permets d'expliquer quelques résultats et methodes dans la théorie des representations quasi-conformes des domaines plans et specieux. Dans cette branche d'analyse nous avons deux domaines: des recherches geometriques ayant des contacts avec les problèmes topologiques et des recherches analytiques ayant des contacts avec les theories des systèmes des equations aux dérivés partiels et leurs applications aux divers problèmes de mecanique.

We use an estimate of the $$k$$ -modulus of smoothness of a function $$f$$ such that the norm of its distributional gradient $$|\nabla ^kf|$$ belongs locally to the Lorentz space $$L^{n/k, 1}({\mathbb {R}}^n),\,k \in {\mathbb {N}},\,k\le n$$ , and we prove its reverse form to establish necessary and sufficient conditions for continuous embeddings of Sobolev-type spaces. These spaces are modelled upon rearrangement-invariant Banach function spaces $$X({\mathbb {R}}^n)$$ . Target spaces of our embeddings are generalized Hölder spaces defined by means of the $$k$$ -modulus of smoothness $$(k\in {\mathbb {N}})$$ . General results are illustrated with examples.

We consider the semi-classical limit of the quantum evolution of Gaussian coherent states whenever the Hamiltonian H is given, as sum of quadratic forms, by $$ H= -\frac{{\hbar ^{2}}}{2m}\,\frac{d^{2}\,}{dx^{2}}\,\dot{+}\,\alpha \delta _{0}$$ , with $$\alpha \in \mathbb R$$ and $$\delta _{0}$$ the Dirac delta-distribution at $$x=0$$ . We show that the quantum evolution can be approximated, uniformly for any time away from the collision time and with an error of order $${\hbar ^{3/2-\lambda }}$$ , $$0\!<\!\lambda \!<\!3/2$$ , by the quasi-classical evolution generated by a self-adjoint extension of the restriction to $$\mathcal C^{\infty }_{c}({\mathscr {M}}_{0})$$ , $${\mathscr {M}}_{0}:=\{(q,p)\!\in \!\mathbb R^{2}\,|\,q\!\not =\!0\}$$ , of ( $$-i$$ times) the generator of the free classical dynamics; such a self-adjoint extension does not correspond to the classical dynamics describing the complete reflection due to the infinite barrier. Similar approximation results are also provided for the wave and scattering operators.