Integration là gì? Các công bố khoa học về Integration

Integration là quá trình kết hợp hoặc hòa nhập các thành phần khác nhau thành một tổng thể hoặc hệ thống. Đối với toán học, tích phân hay integration là một phép tính được sử dụng để tính diện tích, thể tích, tổng hay trung bình của một hàm số trong một khoảng xác định.
Trong toán học, tích phân là một phép tính đại số sử dụng để tìm diện tích hay khối lượng của một đối tượng được thể hiện bằng một hàm số trong một khoảng xác định. Tích phân dựa trên khái niệm "tích phân riêng" (riemann integral) được phát triển bởi Bernhard Riemann.

Công thức tổng quát của tích phân được biểu diễn như sau:
∫[a,b] f(x) dx

Trong đó, f(x) là hàm số ta muốn tích phân, a và b là giới hạn của khoảng cần tích phân và dx là ký hiệu tổng quát cho biến x đang được tích phân.

Tích phân có thể được tính toán theo ba phương pháp chính: tích phân xác định, tích phân không xác định và tích phân đặc biệt.

1. Tích phân xác định: Tích phân xác định tính toán diện tích hoặc khối lượng của một đối tượng trong một khoảng xác định. Kết quả của tích phân xác định là một số thực.

2. Tích phân không xác định: Tích phân không xác định là một hàm mới, được xác định bởi tích phân của một hàm khác. Khi tích phân không xác định được thực hiện, kết quả là một hàm, không phải là một số.

3. Tích phân đặc biệt: Đây là các dạng tích phân đặc biệt điều chỉnh để giải các bài toán cụ thể. Ví dụ như tích phân riemann, tích phân lượng giác, tích phân tường minh và nhiều hơn nữa.

Tích phân có ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, tự nhiên và xã hội học để tính toán diện tích, thể tích, khoảng cách, tổng, trung bình, tốc độ thay đổi và nhiều khái niệm khác.
Tích phân có thể được hiểu như là việc tìm diện tích dưới đường cong của một đồ thị hoặc tìm tổng giá trị của một hàm số trong một khoảng xác định.

Tích phân xác định được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của một đồ thị, như là trường hợp đặc biệt của tích phân. Đối với hàm số f(x) không âm và không giảm trên một khoảng [a, b], tích phân xác định ∫[a,b] f(x) dx sẽ cho ta diện tích dưới đường cong của đồ thị của f(x) trong khoảng từ a đến b. Điều này thường được biểu diễn bởi diện tích dưới đường cong và cạnh trên của khoảng được tính toán theo công thức ∫[a,b] f(x) dx = [ F(x) ] từ a đến b = F(b) - F(a), trong đó F(x) là hàm nguyên hàm của f(x) và [ ] chỉ biểu diễn giá trị của hàm tại từng giới hạn.

Tích phân không xác định là việc tính tổng giá trị của một hàm số trong một khoảng xác định, và kết quả là một hàm mới thay vì một giá trị đơn. Ký hiệu của tích phân không xác định là ∫ f(x) dx và kết quả được biểu diễn là F(x) + C, trong đó F(x) là hàm nguyên hàm của f(x) và C là hằng số tích cực (do không xác định) được gọi là hằng số của tích phân không xác định.

Trong quá trình tích phân, định lý cơ bản của tích phân (Fundamental Theorem of Calculus) là công cụ quan trọng. Định lý này cho phép chúng ta liên kết tích phân và đạo hàm với nhau, và nói rằng nếu một hàm F(x) là một nguyên hàm của một hàm f(x), thì đạo hàm của F(x) sẽ bằng f(x). Điều này mở ra khả năng tính đạo hàm ngược lại của một hàm thông qua tích phân.

Công cụ tính toán như quy tắc truyền dẫn, quy tắc tích phân bởi phần và quy tắc thay đổi biến cũng được sử dụng để giải quyết các phép tính tích phân phức tạp hơn.