Springer Science and Business Media LLC

We consider constraints on the topology of closed 3-manifolds that can arise as hypersurfaces of contact type in standard symplectic $${\mathbb {R}}^4$$ . Using an obstruction derived from Heegaard Floer homology we prove that no Brieskorn homology sphere admits a contact type embedding in $${\mathbb {R}}^4$$ , a result that has bearing on conjectures of Gompf and Kollár. This implies in particular that no rationally convex domain in $${\mathbb {C}}^2$$ has boundary diffeomorphic to a Brieskorn sphere. We also give infinitely many examples of contact 3-manifolds that bound Stein domains in $${\mathbb {C}}^2$$ but not domains that are symplectically convex with respect to the standard symplectic structure; in particular we find Stein domains in $${\mathbb {C}}^2$$ that cannot be made Weinstein with respect to the ambient symplectic structure while preserving the contact structure on their boundaries. Finally, we observe that any strictly pseudoconvex, polynomially convex domain in $${\mathbb {C}}^2$$ having rational homology sphere boundary is diffeomorphic to the standard 4-ball.

Không gian pha có 6n chiều của bài toán (1+n)-cơ thể hành tinh (sau khi giảm chiều tổng động lượng đường tuyến tính) được chứng minh là được phân lớp bởi các lá giao hoán có chiều (6n−2) không thay đổi đối với Hamiltonian hành tinh ${\mathcal{H}}$ . Phân lớp này được mô tả bằng một tập hợp tọa độ Darboux toàn cầu mới liên quan đến việc giảm bớt các phép quay một phần giao hoán. Trên mỗi lá giao hoán ${\mathcal{H}}$ giữ nguyên hình thức và được chứng minh là bảo toàn các đối xứng cổ điển. Các tập hợp tọa độ Darboux khác cũng có thể được giới thiệu trên các lá giao hoán nhằm đạt được một sự giảm bớt (hoàn toàn) về các phép quay. Tiếp theo, thông qua các phép toán cụ thể, được chứng minh rằng trong các thiết lập đã giảm, một số sự suy thoái được loại bỏ. Đặc biệt, độ xoắn hoàn toàn được kiểm tra ở cả từng phần và thiết lập đã giảm hoàn toàn. Do đó, ngay lập tức dễ dàng suy ra một chứng minh trực tiếp mới của định lý Arnold (Arnold trong Russ. Math. Surv. 18(6):85–191, 1963) về tính ổn định của hệ hành tinh (cả trong các thiết lập một phần và giảm hoàn toàn), tạo ra các torus bất biến Lagrangian Diophantine có chiều (3n−1) và (3n−2). Cuối cùng, các torus có chiều thấp hơn dạng elip rẽ nhánh từ trạng thái cân bằng thế tục dễ dàng thu được.