Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society

The plasticity of metal polycrystals with preferred orientations is considered from a phenomenological standpoint. Some new general theorems are proved, in particular the existence of a work-equivalent function of the tensor strain-rate over any yield surface. The status of the classical theory of plastic anisotropy is re-appraised in the light of recent experiments, which are themselves critically reviewed. A new type of yield function is proposed to account for the so-called anomalous behaviour of some materials.

Bài báo này mô tả một phép nghịch đảo tổng quát của một ma trận không suy biến, dưới dạng nghiệm duy nhất của một tập hợp phương trình nhất định. Phép nghịch đảo tổng quát này tồn tại cho bất kỳ ma trận nào (có thể là hình chữ nhật) với các phần tử phức. Nó được sử dụng ở đây để giải các phương trình ma trận tuyến tính, và trong số những ứng dụng khác là để tìm biểu thức cho các phần tử idempotent chính của một ma trận. Cũng một loại phân rã phổ mới được đưa ra.

Khi mở rộng công trình của H. M. Srivastava [6] về các tổng quát của một định danh thú vị của Carlson, R. G. Buschman và H. M. Srivastava [2] đã chứng minh một số định danh chuỗi đôi và liệt kê các trường hợp khác nhau về khả năng rút gọn của một số chuỗi siêu hình học trong hai biến (xem [1], trang 150, phương trình (29)). Mục tiêu của bài viết này là để suy ra ba lớp định danh chuỗi tổ hợp mới (chứa trong Định lý 1, 2 và 3 dưới đây) mà hợp nhất và mở rộng các kết quả của những bài viết trước đó ([2], [6]). Một tương đương chuỗi nhiều chiều của một trong các định danh chuỗi tổ hợp được trình bày ở đây cũng được ghi nhận.

1. Chuyển động ổn định của một chất lỏng nhớt không nén, do một tấm phẳng quay vô hạn gây ra, được Kármán xem xét. Nếu r, θ, z là các tọa độ cực trụ, tấm phẳng được coi là z = 0; nó quay với vận tốc góc không đổi ω quanh trục r = 0. Chúng tôi xem xét chuyển động của chất lỏng ở phía của tấm mà tại đó z là dương; chất lỏng là vô hạn và z = 0 là ranh giới duy nhất. Nếu u, v, w là các thành phần vận tốc của chất lỏng theo các hướng r, θ và z tăng lên, tương ứng, và p là áp suất, thì Kármán chỉ ra rằng các phương trình chuyển động và liên tục được thỏa mãn bằng cách lấy

Một sự tổng quát cho hai biến độc lập của khai triển Lagrange cho một hàm nghịch đảo đã được Stieltjes đề xuất và được Poincaré chứng minh một cách chặt chẽ. Một phương pháp chứng minh mới được đưa ra ở đây cũng cung cấp một dạng mới và đôi khi thuận tiện hơn của sự tổng quát này. Các kết quả được trình bày cho một số lượng biến độc lập tùy ý. Các ứng dụng được chỉ ra đối với các quá trình phân nhánh ngẫu nhiên, các hàng đợi với nhiều loại khách hàng khác nhau, và một số vấn đề đếm.

Trong một bài báo gần đây, Al-Salam(1) đã định nghĩa một toán tử tích phân phân thức q bằng tích phân cơ bản

(1) Trong đó α ≠ 0, −1, −2, …. Sử dụng định nghĩa dãy của các tích phân cơ bản, (1·1) được viết lại thành

có giá trị cho mọi α

Chúng tôi giới thiệu một đại số Hopf quasi tam giác hoặc ‘nhóm lượng tử’ U(B), phép double-bosonization, gắn liền với mỗi nhóm tết B trong danh mục các mô-đun H trên một đại số Hopf quasi tam giác H, sao cho B xuất hiện như ‘không gian gốc dương’, H như ‘đại số Cartan’ và nhóm tết đối ngẫu B* là ‘không gian gốc âm’ của U(B). Sự lựa chọn B=U_q(n₊) phục hồi cấu trúc của Lusztig cho U_q(g); các lựa chọn khác mang lại nhiều nhóm lượng tử mới mẻ hơn. Như một ứng dụng, cấu trúc của chúng tôi cung cấp một cách chính quy để xây dựng các nhóm lượng tử từ những nhóm nhỏ hơn bằng cách liên tục mở rộng không gian gốc dương và âm của chúng bằng các nhóm tết tuyến tính; chúng tôi rõ ràng xây dựng U_q(sl₃) từ U_q(sl₂) bằng phương pháp này, mở rộng nó bằng mặt phẳng lượng tử-tết. Chúng tôi cung cấp một đại diện cơ bản của U(B) trong B. Một phép chiếu từ đối lượng tử, một lý thuyết về các sản phẩm hai lần và một quan điểm xây dựng Tannaka–Krein cũng được cung cấp.

Bài báo này nhằm mục đích làm rõ một số khía cạnh của các tương tác vừa được phát hiện giữa lý thuyết các nút và liên kết cổ điển, lý thuyết các danh mục monoidal, lý thuyết đại số Hopf, hệ thống tích phân lượng tử, lý thuyết các mô hình có thể giải được chính xác trong cơ học thống kê, và lý thuyết trường lượng tử. Các kết quả chính ở đây cho thấy một mối quan hệ mật thiết giữa các phép biểu diễn của một số danh mục monoidal xuất phát từ việc nghiên cứu các bất biến nút mới hoặc từ các cân nhắc vật lý với các nhóm lượng tử (tức là, các đại số Hopf). Đặc biệt, các danh mục của các mô-đun và co-mô-đun trên đại số Hopf dường như là những ví dụ cơ bản hơn về các danh mục monoidal so với những gì có thể nhận thấy ban đầu. Vai trò cơ bản của đại số Hopf trong lý thuyết danh mục monoidal cũng được thể hiện trong lý thuyết đối ngẫu Tannaka của Deligne và Mime [8a], mặc dù mối quan hệ giữa kết quả đó và công việc hiện tại không rõ ràng như mong đợi.

Vấn đề giá trị riêng nghịch đảo cho các màng dao động (4), cũng có thể được xem xét trong ba chiều hoặc nhiều hơn. Giả sử rằng λ_n là các giá trị riêng của vấn đề

trong đó Ω là một vùng hoặc thể đóng lồi trong E_n và S là bề mặt biên của Ω. Vấn đề cơ bản là xác định hình dạng chính xác của Ω khi được cung cấp phổ các giá trị riêng λ_n. Theo sự tương đồng với vấn đề màng, rõ ràng rằng hàm dấu vết có thể được xây dựng theo cách tương tự; do đó

trong đó G(r, r', t) là hàm Green của phương trình khuếch tán

và thỏa mãn điều kiện Dirichlet G(r, r', t) = 0, r∈S, và điều kiện ban đầu G(r, r', t) → δ(r–r') khi t → 0.

Bài báo này đề cập đến các phương pháp đánh giá các nghiệm số của phương trình vi phân riêng không tuyến tính

trong đó

tuân theo các điều kiện biên

A, k, q là các hằng số đã biết.

Phương trình (1) thuộc loại phát sinh trong các vấn đề dòng nhiệt khi có sự phát sinh nhiệt bên trong môi trường; nếu nhiệt do một phản ứng hóa học diễn ra tại từng điểm với tốc độ phụ thuộc vào nhiệt độ tại chỗ, thì tốc độ phát sinh nhiệt thường được định nghĩa bởi một phương trình như (2).