Geometriae Dedicata

We will investigate the local geometry of the surfaces in the 7-dimensional Euclidean space associated to harmonic maps from a Riemann surface $$\varSigma $$ into $$S^6$$ . By applying methods based on the use of harmonic sequences, we will characterize the conformal harmonic immersions $$\varphi :\varSigma \rightarrow S^6$$ whose associated immersions $$F:\varSigma \rightarrow \mathbb {R}^7$$ belong to certain remarkable classes of surfaces, namely: minimal surfaces in hyperspheres; surfaces with parallel mean curvature vector field; pseudo-umbilical surfaces; isotropic surfaces.

Xét S là một mặt phẳng có hướng compact với biên cùng với một số lượng hữu hạn các điểm đánh dấu trên biên, và ký hiệu $$S^\circ $$ là mặt phẳng tương ứng với hướng ngược lại. Chúng tôi xem xét cấu trúc đôi $$S_\mathcal {D}$$ thu được bằng cách gắn hai mặt S và $$S^\circ $$ lại với nhau dọc theo các thành phần biên tương ứng. Chúng tôi định nghĩa một khái niệm về phân lớp trên cấu trúc đôi và xây dựng tọa độ trên không gian của tất cả những phân lớp đó. Chúng tôi chỉ ra rằng không gian các phân lớp này là phiên bản nhiệt đới của đôi đối xứng đã được giới thiệu bởi Fock và Goncharov. Có một phép ghép chuẩn giữa các phân lớp của chúng tôi và các điểm thực dương của đôi đối xứng. Chúng tôi suy ra một công thức rõ ràng cho phép ghép này bằng cách sử dụng các đa thức F của Fomin và Zelevinsky.

We prove that the Euclidean ball is the unique convex body with the property that all its sections through a fixed point are convex bodies of constant width. Furthermore, we characterize those convex bodies which are sections of convex bodies of constant width.

We study stable rank two bundles on a threefold with a pencil of Del-Pezzo surfaces. When the generic fiber is a cubic surface in P3, we give a description of the moduli spaces of such bundles.

In this paper we study harmonic morphisms ∅ :U ⊂ ℂP m →N 2 from open subsets of complex projective spaces to Riemann surfaces. We construct many new examples of such maps which are not holomorphic with respect to the standard Kähler structure on ℂP m.

It is a well-known result that a stable curve of compact type over $${\mathbb {C}}$$ having two components is hyperelliptic if and only if both components are hyperelliptic and the point of intersection is a Weierstrass point for each of them. With the use of admissible covers, we generalize this characterization in two ways: for stable curves of higher gonality having two smooth components and one node; and for hyperelliptic and trigonal stable curves having two smooth non-rational components and any number of nodes.