Bulletin of the American Mathematical Society

Chúng tôi báo cáo về tiến trình gần đây trong chương trình phân loại các đại số C∗^* có thể tách rời và có thể chấp nhận. Chúng tôi nhấn mạnh vai trò mới nổi lên của các tính chất quy định như hạng phân rã hữu hạn, so sánh nghiêm ngặt của các phần tử dương, và Z\mathcal {Z}-ổn định, cũng như tầm quan trọng của bán nhóm Cuntz. Chúng tôi bao gồm một lịch sử ngắn gọn về những thành công của chương trình kể từ năm 1989, một cái nhìn chi tiết hơn về các đại số loại Villadsen, những yếu tố đã thay đổi đáng kể cảnh quan, và một tập hợp các thông báo về cấu trúc và các tính chất của bán nhóm Cuntz.

Chúng tôi sử dụng một mở rộng của định lý Sunada để xây dựng một cặp miền đơn kết không đồng chiều trong mặt phẳng Ơ-clit, do đó trả lời theo hướng tiêu cực câu hỏi của Kac, "Liệu có thể nghe thấy hình dạng của một chiếc trống?" Để xây dựng các ví dụ đơn kết, chúng tôi khai thác nhận xét rằng một orbifold có không gian nền là một đa tạp đơn kết có biên không nhất thiết phải là đơn kết dưới dạng một orbifold.

Khái niệm về các nghiệm có độ nhớt của các phương trình vi phân riêng cấp hai hoàn toàn phi tuyến cung cấp một khuôn khổ mà trong đó các định lý so sánh và đồng nhất đáng kinh ngạc, các định lý tồn tại, và các định lý về sự phụ thuộc liên tục có thể được chứng minh bằng những lập luận rất hiệu quả và nổi bật. Phạm vi ứng dụng quan trọng của những kết quả này là rất lớn. Bài báo này là một phần trình bày tự chứa về lý thuyết cơ bản của các nghiệm có độ nhớt.

Chúng tôi mô tả công trình gần đây của Klyachko, Totaro, Knutson và Tao liên quan đến việc xác định các giá trị riêng của tổng các ma trận Hermitian và phân rã các sản phẩm tensor của các đại diện của GLn(C)GL_{n}(\mathbb {C}). Chúng tôi giải thích các ứng dụng liên quan đến các yếu tố bất biến của sản phẩm ma trận, các giao điểm trong các hạng giống Grassmann, và các giá trị riêng của tổng và tích của các ma trận tùy ý.