Đánh giá độ dốc cho các phương trình quasilinear parabol loại p-Laplace đặc biệt với dữ liệu đo lường

Springer Science and Business Media LLC - Tập 61 - Trang 1-41 - 2022
Hongjie Dong1, Hanye Zhu1
1Division of Applied Mathematics, Brown University, Providence, USA

Tóm tắt

Chúng tôi quan tâm đến việc ước lượng độ dốc cho các nghiệm của một lớp phương trình quasilinear parabol đặc biệt với dữ liệu đo lường, có dạng nguyên mẫu được cho bởi phương trình p-Laplace parabol $$u_t-\Delta _p u=\mu $$ với $$p\in (1,2)$$ . Trường hợp khi $$p\in \big (2-\frac{1}{n+1},2\big )$$ đã được nghiên cứu bởi Kuusi và Mingione (Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci 5 12(4):755–822, 2013). Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng các kết quả trong Kuusi và Mingione (2013) đến trường hợp mở khi $$p\in \big (\frac{2n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\big ]$$ nếu $$n\ge 2$$ và $$p\in (\frac{5}{4}, \frac{3}{2}]$$ nếu $$n=1$$ . Cụ thể hơn, trong một khoảng p có tính chất đặc biệt hơn như đã nêu trên, chúng tôi thiết lập các ước lượng độ dốc theo điểm thông qua hạt nhân Riesz parabol tuyến tính và kết quả liên tục độ dốc thông qua một số giả thiết về hạt nhân Riesz parabol.

Từ khóa

#độ dốc #phương trình quasilinear #p-Laplace #dữ liệu đo lường #hạt nhân Riesz parabol

Tài liệu tham khảo

Barenblatt, G.I.: On self-similar motions of a compressible fluid in a porous medium. Akad. Nauk SSSR. Prikl. Mat. Meh. 16, 679–698 (1952)

Bögelein, V., Parviainen, M.: Higher integrability for weak solutions of higher order degenerate parabolic systems. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 33(2), 387–412 (2008)

Caffarelli, L.A., Huang, Q.: Estimates in the generalized Campanato–John–Nirenberg spaces for fully nonlinear elliptic equations. Duke Math. J. 118(1), 1–17 (2003)

Choi, J., Dong, H.: Gradient estimates for Stokes systems in domains. Dyn. Partial Differ. Equ. 16(1), 1–24 (2019)

DiBenedetto, E.: Degenerate parabolic equations. Universitext. Springer, New York (1993)

Dong, H.: Gradient estimates for parabolic and elliptic systems from linear laminates. Arch. Ration. Mech. Anal. 205(1), 119–149 (2012)

Dong, H., Kim, S.: On \(C^1\), \(C^2\), and weak type-\((1,1)\) estimates for linear elliptic operators. Commun. Partial Differ. Equ. 42(3), 417–435 (2017)

Dong, H., Lee, J., Kim, S.: On conormal and oblique derivative problem for elliptic equations with Dini mean oscillation coefficients. Indiana Univ. Math. J. 69(6), 1815–1853 (2020)

Dong, H., Zhu, H.: Gradient estimates for singular \(p\)-Laplace type equations with measure data. arXiv preprint arXiv:2102.08584 (2021)

Duzaar, F., Mingione, G.: Gradient continuity estimates. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 39(3–4), 379–418 (2010)

Duzaar, F., Mingione, G.: Gradient estimates via linear and nonlinear potentials. J. Funct. Anal. 259(11), 2961–2998 (2010)

Duzaar, F., Mingione, G.: Gradient estimates via non-linear potentials. Am. J. Math. 133(4), 1093–1149 (2011)

Giusti, E.: Direct methods in the calculus of variations. World Scientific Publishing Co., Inc, River Edge (2003)

Kinnunen, J., Lewis, J.L.: Higher integrability for parabolic systems of \(p\)-Laplacian type. Duke Math. J. 102(2), 253–271 (2000)

Krylov, N.V.: On Bellman’s equations with VMO coefficients. Methods Appl. Anal. 17(1), 105–121 (2010)

Kuusi, T., Mingione, G.: New perturbation methods for nonlinear parabolic problems. J. Math. Pures Appl. (9) 98(4), 390–427 (2012)

Kuusi, T., Mingione, G.: Gradient regularity for nonlinear parabolic equations. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 12(4), 755–822 (2013)

Kuusi, T., Mingione, G.: Guide to nonlinear potential estimates. Bull. Math. Sci. 4(1), 1–82 (2014)

Kuusi, T., Mingione, G.: Linear potentials in nonlinear potential theory. Arch. Ration. Mech. Anal. 207(1), 215–246 (2013)

Kuusi, T., Mingione, G.: Riesz potentials and nonlinear parabolic equations. Arch. Ration. Mech. Anal. 212(3), 727–780 (2014)

Kuusi, T., Mingione, G.: The Wolff gradient bound for degenerate parabolic equations. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 16(4), 835–892 (2014)

Lieberman, G.M.: Sharp forms of estimates for subsolutions and supersolutions of quasilinear elliptic equations involving measures. Comm. Partial Differ. Equ. 18(7–8), 1191–1212 (1993)

Lieberman, G.M.: Second order parabolic differential equations. World Scientific Publishing Co., Inc, River Edge (1996)

Mingione, G.: Gradient potential estimates. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 13(2), 459–486 (2011)

Nguyen, Q.-H., Cong Phuc, N.: Good-\(\lambda \) and Muckenhoupt–Wheeden type bounds in quasilinear measure datum problems, with applications. Math. Ann. 374(1–2), 67–98 (2019)

Nguyen, Q.-H., Cong Phuc, N.: Existence and regularity estimates for quasilinear equations with measure data: the case \(1< p\le \frac{3n- 2}{2n-1}\). arXiv preprint arXiv:2003.03725 (2020)

Nguyen, Q.-H., Cong Phuc, N.: Pointwise gradient estimates for a class of singular quasilinear equations with measure data. J. Funct. Anal. 278(5), 108391, 35 (2020)

Park, J.-T., Shin, P.: Regularity estimates for singular parabolic measure data problems with sharp growth. arXiv preprint arXiv:2004.03889 (2020)

Vázquez, J.L.: Smoothing and decay estimates for nonlinear diffusion equations: equations of porous medium type. Oxford University Press, Oxford (2006)

Thông tin
Thông tin xuất bản

Springer Science and Business Media LLC

Tập 61

1-41

Thông tin tác giả