Trạng thái ứng suất phẳng khác trạng thái biến dạng phẳng như thế nào?

Trạng thái ứng suất phẳng áp dụng cho cấu kiện dạng tấm mỏng chịu lực trong mặt phẳng với các thành phần ứng suất pháp và tiếp ngoài mặt phẳng triệt tiêu. Ngược lại, trạng thái biến dạng phẳng áp dụng cho các vật thể lăng trụ dài với biến dạng dọc trục triệt tiêu hoàn toàn nhưng vẫn tồn tại ứng suất pháp ngoài mặt phẳng.

Biến dạng ngoài mặt phẳng trong trạng thái ứng suất phẳng có bằng 0 không?

Biến dạng pháp ngoài mặt phẳng không bằng 0 do hiệu ứng co hông Poisson của vật liệu. Khi tấm mỏng chịu kéo theo hai phương trong mặt phẳng, bề dày của tấm mỏng sẽ co lại theo biểu thức phụ thuộc vào hệ số Poisson và mô đun Young.

Vòng tròn Mohr hỗ trợ xác định các thông số nào trong trạng thái ứng suất phẳng?

Vòng tròn Mohr là phương pháp đồ họa cho phép xác định trực quan ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mọi mặt cắt nghiêng. Giao điểm của vòng tròn với trục hoành tương ứng với hai giá trị ứng suất chính cực đại và cực tiểu, trong khi đỉnh cao nhất của vòng tròn xác định ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng.

Trạng thái ứng suất phẳng (plane stress) là gì?

Trạng thái ứng suất phẳng (plane stress) là trạng thái ứng suất tại một điểm trong vật thể mà một trong ba ứng suất chính triệt tiêu hoàn toàn, hoặc toàn bộ các thành phần ứng suất tác dụng lên mặt phẳng vuông góc với một trục tọa độ xác định đều bằng 0. Trong cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi, trạng thái này là mô hình rút gọn hai chiều cơ bản, được áp dụng phổ biến cho các kết cấu dạng tấm mỏng và vỏ mỏng chịu tải trọng nằm trong mặt phẳng trung bình. Bài viết phân tích cơ sở toán học, hệ phương trình cấu tạo đàn hồi, phương pháp xác định ứng suất chính bằng vòng tròn Mohr, các tiêu chuẩn phá hủy cơ học cùng phạm vi ứng dụng và giới hạn lý thuyết của mô hình.

Bản chất và định nghĩa trạng thái ứng suất phẳng

Trong cơ học vật rắn biến dạng, trạng thái ứng suất tại một điểm bất kỳ được mô tả đầy đủ thông qua tensor ứng suất Cauchy cấp hai. Trong không gian 3 chiều tổng quát, tensor này gồm 9 thành phần ứng suất, trong đó có 6 thành phần độc lập do tính đối xứng của tensor theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp. Tuy nhiên, khi xét các cấu kiện kết cấu có một kích thước hình học nhỏ hơn rất nhiều so với hai kích thước còn lại (chẳng hạn tấm mỏng có chiều dày danh định rất nhỏ so với chiều dài và chiều rộng) và không chịu ngoại lực tác dụng lên hai bề mặt tự do, trạng thái cơ học có thể được đơn giản hóa thành trạng thái ứng suất phẳng.

Theo Barber (2010), trạng thái ứng suất phẳng trong mặt phẳng tọa độ xác định bởi hai trục vuông góc nhau được định nghĩa chặt chẽ bằng điều kiện triệt tiêu của các thành phần ứng suất theo phương pháp tuyến của mặt phẳng. Khi chọn trục tọa độ thứ ba vuông góc với bề mặt tấm mỏng, toàn bộ các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp liên kết với phương này đều bằng 0:

\sigma_z = 0, \quad \tau_{xz} = 0, \quad \tau_{yz} = 0

Với $\sigma_z$ là ứng suất pháp theo phương trục vuông góc, $\tau_{xz}$ và $\tau_{yz}$ là các thành phần ứng suất tiếp tác dụng trên các mặt phẳng cắt song song với trục này. Do các thành phần này biến mất, ma trận biểu diễn tensor ứng suất tại điểm xét rút gọn từ 9 thành phần xuống còn 3 thành phần ứng suất độc lập nằm hoàn toàn trong mặt phẳng:

\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{bmatrix}

Trong đó $\sigma_x$ là ứng suất pháp tác dụng vuông góc với mặt phẳng vuông góc trục hoành, $\sigma_y$ là ứng suất pháp tác dụng vuông góc với mặt phẳng vuông góc trục tung, và $\tau_{xy} = \tau_{yx}$ là ứng suất tiếp gây trượt trong mặt phẳng. Việc giảm số lượng biến số độc lập từ 6 thành phần xuống còn 3 thành phần giúp đơn giản hóa đáng kể quá trình thiết lập và giải các phương trình vi phân cân bằng trong phân tích kết cấu công trình và chi tiết máy.

Hệ phương trình cân bằng tĩnh học trong mặt phẳng

Xét một phân tố hình hộp vi phân trong mặt phẳng chịu tác dụng của trạng thái ứng suất hai chiều. Khi bỏ qua lực quán tính hoặc trong điều kiện cân bằng tĩnh học thuần túy, điều kiện cân bằng của các lực tác dụng lên phân tố theo hai phương dẫn đến hệ phương trình vi phân cân bằng Cauchy rút gọn:

\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + X = 0

\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + Y = 0

Trong các phương trình vi phân trên, $X$ và $Y$ biểu thị các thành phần lực thể tích tác dụng trên một đơn vị thể tích theo hai phương tọa độ tương ứng. Trong trường hợp bỏ qua trọng lượng bản thân và các trường lực thể tích tác dụng từ xa, hai đại lượng này nhận giá trị bằng 0. Điểm đặc thù của hệ phương trình cân bằng tĩnh học là số phương trình độc lập (chỉ gồm 2 phương trình vi phân) nhỏ hơn số thành phần ứng suất chưa biết (gồm 3 đại lượng độc lập). Do đó, bài toán xác định phân bố ứng suất trong vật thể đàn hồi là một bài toán siêu tĩnh, đòi hỏi phải bổ sung các phương trình tương thích biến dạng và phương trình quan hệ vật lý.

Định luật Hooke và biến dạng ngoài mặt phẳng

Một trong những hiểu lầm phổ biến khi nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng là cho rằng khi các ứng suất theo phương pháp tuyến triệt tiêu thì mọi biến dạng theo phương đó cũng bằng 0. Trên thực tế, do hiệu ứng Poisson đặc trưng của vật liệu đàn hồi, biến dạng pháp ngoài mặt phẳng hoàn toàn khác 0 khi vật liệu chịu ứng suất trong mặt phẳng.

Theo Barber (2010), định luật Hooke tổng quát cho vật liệu đẳng hướng đàn hồi tuyến tính dưới điều kiện ứng suất phẳng được biểu diễn thông qua mối quan hệ giữa các thành phần biến dạng và thành phần ứng suất:

\varepsilon_x = \frac{1}{E} (\sigma_x - \nu \sigma_y)

\varepsilon_y = \frac{1}{E} (\sigma_y - \nu \sigma_x)

\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G} = \frac{2(1 + \nu)}{E} \tau_{xy}

Trong các hệ thức cấu tạo trên, $E$ là mô đun đàn hồi dọc (mô đun Young), $\nu$ là hệ số co hông Poisson của vật liệu, và $G$ là mô đun đàn hồi trượt. Đáng chú ý, thành phần biến dạng pháp vuông góc với mặt phẳng tấm không triệt tiêu mà nhận giá trị xác định bởi biểu thức:

\varepsilon_z = -\frac{\nu}{E} (\sigma_x + \sigma_y)

Phương trình này khẳng định rằng khi tấm mỏng chịu kéo đồng thời theo cả hai phương trong mặt phẳng ( $\sigma_x > 0$ và $\sigma_y > 0$ ), bề dày của tấm mỏng sẽ co lại ( $\varepsilon_z < 0$ ). Ngược lại, khi tấm chịu nén hai phương, bề dày của tấm sẽ giãn nở ra. Việc tồn tại biến dạng ngoài mặt phẳng dẫn đến sự thay đổi chiều dày của tấm mỏng trong quá trình chịu tải, điều này đóng vai trò then chốt trong việc phân tích hiện tượng mất ổn định cục bộ và tính toán biến dạng dẻo sau đàn hồi.

Để phục vụ tính toán số, quan hệ ứng suất theo biến dạng được viết dưới dạng ma trận độ cứng vật liệu đàn hồi hai chiều:

\begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{bmatrix} = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \nu}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix}

Ma trận cấu tạo trên phản ánh sự phụ thuộc chặt chẽ giữa các thành phần ứng suất và trường chuyển vị trong mặt phẳng, tạo tiền đề xây dựng các phần tử hữu hạn dạng màng và dạng tấm vỏ.

Phương pháp giải tích và đồ họa vòng tròn Mohr

Khi khảo sát độ bền tại một điểm, việc nắm bắt sự biến đổi của ứng suất khi xoay mặt cắt nghiêng là yếu tố quyết định để xác định vị trí nguy hiểm nhất của chi tiết kết cấu.

Biến đổi ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Giả sử tại điểm xét, trạng thái ứng suất trên hai mặt cắt ban đầu được xác định bởi $\sigma_x$ , $\sigma_y$ và $\tau_{xy}$ . Xét một mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến hợp với trục hoành một góc nghiêng $\alpha$ . Bằng cách thiết lập điều kiện cân bằng tĩnh học cho phân tố hình nêm vi phân, các thành phần ứng suất pháp $\sigma_\alpha$ và ứng suất tiếp $\tau_\alpha$ trên mặt nghiêng được suy ra qua các công thức lượng giác:

\sigma_\alpha = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\alpha) + \tau_{xy} \sin(2\alpha)

\tau_\alpha = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\alpha) + \tau_{xy} \cos(2\alpha)

Ứng suất chính và phương chính

Theo Means (1976), mặt phẳng chính là mặt phẳng mà tại đó ứng suất tiếp triệt tiêu hoàn toàn ( $\tau_\alpha = 0$ ). Từ điều kiện này, góc nghiêng $\alpha_0$ xác định phương chính thỏa mãn phương trình:

\tan(2\alpha_0) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}

Phương trình trên cho hai nghiệm góc vuông góc nhau trong không gian vật lý, tương ứng với hai phương chính độc lập trong mặt phẳng. Thay giá trị góc nghiệm vào biểu thức ứng suất pháp, ta thu được hai giá trị ứng suất chính cực trị ký hiệu là $\sigma_1$ (ứng suất chính cực đại) và $\sigma_2$ (ứng suất chính cực tiểu):

\sigma_1, \sigma_2 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}

Hình học vòng tròn Mohr

Khảo sát hệ hai phương trình biến đổi ứng suất cho thấy khi khử biến số góc nghiêng $\alpha$ , mối liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp lập thành phương trình đường tròn kinh điển mang tên nhà khoa học Otto Mohr (Means, 1976):

\left(\sigma_\alpha - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_\alpha^2 = \left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2

Phương trình này biểu diễn một vòng tròn trên hệ trục tọa độ vuông góc với trục hoành là ứng suất pháp $\sigma$ và trục tung là ứng suất tiếp $\tau$ . Đặc điểm hình học của vòng tròn Mohr gồm:

Tọa độ tâm vòng tròn nằm trên trục hoành tại vị trí ứng suất trung bình: $\sigma_{tb} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$ .
Bán kính vòng tròn $R$ nhận giá trị bằng: $R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$ .
Giao điểm của vòng tròn với trục hoành ứng với vị trí ứng suất tiếp bằng 0 chính là hai giá trị ứng suất chính $\sigma_1$ và $\sigma_2$ .
Ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng đạt được tại đỉnh cao nhất của vòng tròn, có độ lớn bằng chính bán kính $R$ , tức là $\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}$ , xuất hiện trên mặt phẳng nghiêng lệch một góc 45 độ so với phương chính.

Tiêu chuẩn phá hủy và độ bền vật liệu

Khi vật liệu kim loại hoặc vật liệu giòn làm việc trong điều kiện ứng suất phẳng, việc đánh giá khả năng chịu tải đòi hỏi phải áp dụng các thuyết bền cơ học thích hợp.

Tiêu chuẩn chảy dẻo Tresca và Coulomb-Mohr

Theo tiêu chuẩn ứng suất tiếp cực đại Tresca, sự chảy dẻo bắt đầu xảy ra khi ứng suất tiếp cực đại tuyệt đối đạt tới giới hạn chảy trượt của vật liệu. Theo phân tích của Alexandrov và Goldstein (2014) về quỹ đạo ứng suất chính trong trạng thái ứng suất phẳng:

Khi hai ứng suất chính trong mặt phẳng trái dấu ( $\sigma_1 > 0$ và $\sigma_2 < 0$ ), ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng cũng chính là ứng suất tiếp cực đại ba chiều, điều kiện chảy dẻo có dạng: $\sigma_1 - \sigma_2 = \sigma_0$ , với $\sigma_0$ là giới hạn chảy khi kéo đơn trục.
Khi hai ứng suất chính trong mặt phẳng cùng dấu (chẳng hạn cả hai đều mang giá trị dương $\sigma_1 \ge \sigma_2 > 0$ ), thành phần ứng suất pháp ngoài mặt phẳng bằng 0 ( $\sigma_3 = 0$ ) trở thành ứng suất chính nhỏ nhất trong không gian 3 chiều. Do đó, ứng suất tiếp cực đại tuyệt đối lại xảy ra trên mặt phẳng nghiêng ngoài không gian, và điều kiện bền Tresca chuyển thành: $\sigma_1 - 0 = \sigma_0$ , tức là chỉ phụ thuộc vào giá trị của $\sigma_1$ .

Phân tích trên của Alexandrov và Goldstein (2014) chứng minh tầm quan trọng của việc không bỏ sót thành phần ứng suất triệt tiêu ngoài mặt phẳng khi áp dụng các tiêu chuẩn phá hủy ba chiều cho bài toán hai chiều.

Tiêu chuẩn năng lượng biến đổi hình dạng von Mises

Đối với vật liệu dẻo kim loại, tiêu chuẩn von Mises dựa trên mật độ năng lượng biến dạng làm méo hình dạng được ứng dụng phổ biến hơn cả. Trong điều kiện ứng suất phẳng ( $\sigma_3 = 0$ ), biểu thức ứng suất tương đương von Mises rút gọn thành:

\sigma_{td} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2^2} = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}

Trên đồ thị biểu diễn theo hai trục ứng suất chính $\sigma_1$ và $\sigma_2$ , đường biên giới hạn chảy theo tiêu chuẩn von Mises là một đường elip nghiêng, bao quanh đa giác giới hạn chảy lục giác của tiêu chuẩn Tresca.

So sánh trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái biến dạng phẳng

Trong cơ học đàn hồi hai chiều, trạng thái ứng suất phẳng (plane stress) và trạng thái biến dạng phẳng (plane strain) là hai mô hình đối ngẫu cơ bản. Việc nắm vững ranh giới áp dụng giữa hai trạng thái là điều kiện tiên quyết trong thiết kế kết cấu kỹ thuật.

Đặc trưng phân tích	Trạng thái ứng suất phẳng	Trạng thái biến dạng phẳng
Điều kiện hình học kết cấu	Cấu kiện tấm mỏng có chiều dày rất nhỏ so với kích thước mặt phẳng	Vật thể lăng trụ có chiều dài rất lớn dọc trục so với tiết diện ngang
Thành phần ứng suất ngoài mặt phẳng	Triệt tiêu hoàn toàn: $\sigma_z = 0, \tau_{xz} = 0, \tau_{yz} = 0$	Tồn tại ứng suất pháp khác 0: $\sigma_z = \nu(\sigma_x + \sigma_y)$
Thành phần biến dạng ngoài mặt phẳng	Biến dạng pháp khác 0: $\varepsilon_z = -\frac{\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y)$	Triệt tiêu hoàn toàn: $\varepsilon_z = 0, \gamma_{xz} = 0, \gamma_{yz} = 0$
Đối tượng kết cấu kỹ thuật tiêu biểu	Màng mỏng, dầm bản mỏng, vỏ bình chịu áp lực mỏng	Đập bê tông trọng lực, đường hầm ngầm, tường chắn đất
Mối liên hệ quy đổi tham số đàn hồi	Sử dụng trực tiếp mô đun Young $E$ và hệ số Poisson $\nu$	Quy đổi tương đương mô đun $E' = \frac{E}{1 - \nu^2}$ và hệ số Poisson $\nu' = \frac{\nu}{1 - \nu}$

Ứng dụng kỹ thuật và tính toán phần tử hữu hạn

Mô hình trạng thái ứng suất phẳng giữ vai trò trung tâm trong nhiều lĩnh vực công nghiệp và xây dựng dân dụng hiện đại.

Phân tích màng mỏng và vật liệu siêu đàn hồi

Trong nghiên cứu tính toán vật liệu composite và màng polymer sinh học, mô hình ứng suất phẳng được mở rộng cho các bài toán phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu lớn. Nghiên cứu của Ahmadi, McBride, Steinmann và Saxena (2025) về mô hình hóa phần tử hữu hạn trạng thái ứng suất phẳng cho vật liệu siêu đàn hồi chịu nén khẳng định rằng điều kiện triệt tiêu ứng suất pháp ngoài mặt phẳng đòi hỏi các thuật toán lặp số riêng biệt tại từng điểm tích phân Gauss của phần tử màng 2 chiều để liên tục cập nhật chiều dày biến dạng của vật liệu.

Ứng xử vật liệu đàn nhớt theo thời gian

Đối với các vật liệu nhớt đàn hồi như nhựa đường hoặc polymer kỹ thuật, ứng xử cơ học phụ thuộc chặt chẽ vào lịch sử gia tải theo thời gian. Guzina và Bonnet (2025) đã phân tích quan hệ cấu tạo của vật thể đàn nhớt tuyến tính dưới điều kiện ứng suất phẳng, chứng minh rằng sự co hông theo phương chiều dày diễn ra liên tục theo thời gian làm xuất hiện các số hạng tích phân nhớ, đòi hỏi hiệu chỉnh các ma trận toán tử độ cứng trong mô hình giải tích hai chiều.

Ứng dụng trong phân tích kết cấu và bối cảnh Việt Nam

Tại Việt Nam, các nguyên lý phân tích trạng thái ứng suất phẳng là nội dung cơ sở trong đào tạo kỹ thuật cơ khí và công trình, được các kỹ sư áp dụng phổ biến để tính toán kiểm tra độ bền của bản cánh dầm thép chữ I, vỏ thân tàu thủy, bồn bể chứa công nghiệp và kết cấu panel tường mỏng trong các công trình công nghiệp và dân dụng.

Hạn chế mô hình và lý thuyết ứng suất phẳng tổng quát

Mặc dù là công cụ phân tích hữu hiệu, mô hình trạng thái ứng suất phẳng thuần túy bộc lộ một số hạn chế quan trọng:

Điều kiện ứng suất pháp ngoài mặt phẳng triệt tiêu tuyệt đối chỉ thỏa mãn chính xác khi chiều dày tấm tiến tới 0. Khi tấm có chiều dày hữu hạn, sự biến thiên của biến dạng ngoài mặt phẳng theo các phương trong mặt phẳng dẫn đến việc vi phạm một phần các phương trình tương thích biến dạng ba chiều của Saint-Venant (Barber, 2010).
Để khắc phục hạn chế này, lý thuyết ứng suất phẳng tổng quát (generalized plane stress) đã được xây dựng, trong đó các thành phần ứng suất được lấy tích phân trung bình qua chiều dày của tấm mỏng. Lý thuyết này thỏa mãn các phương trình đàn hồi trên phương diện giá trị trung bình tích phân, cho phép áp dụng an toàn cho các bài toán tấm phẳng chịu tải trọng trong mặt phẳng mà không yêu cầu chiều dày vô cùng bé.
Tại các vùng tập trung ứng suất nghiêm trọng như mép lỗ khoét hình tròn, góc nhọn hoặc đáy vết nứt vi mô, trạng thái ứng suất phẳng hai chiều bị phá vỡ cục bộ và chuyển hóa thành trạng thái ứng suất không gian ba chiều phức tạp, đòi hỏi phải sử dụng các phần tử khối ba chiều để mô phỏng chính xác ứng xử gãy nứt cơ học.