Convexity là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa convexity trong tài chính

Convexity là thước đo mức độ cong (curvature) của mối quan hệ giữa giá trái phiếu và lãi suất (yield), dùng để bổ sung cho duration vì duration chỉ đo tuyến tính phản ứng của giá khi lãi suất thay đổi nhỏ. Convexity phản ánh tốc độ mà duration thay đổi theo biến động lãi suất; nó là đạo hàm bậc hai của giá trái phiếu theo lãi suất.

Convexity cao có nghĩa là đường cong giá‑yield lồi hơn, trái phiếu tăng giá mạnh hơn khi lãi suất giảm và giảm giá ít hơn khi lãi suất tăng. Convexity thấp hay âm thì ngược lại, làm cho trái phiếu dễ bị tổn thương hơn trước sự biến động lớn của lãi suất.

Công thức tính convexity

Công thức tổng quát cho convexity của một trái phiếu với dòng tiền cố định là: $Convexity = \frac{1}{P} \sum_{t=1}^{n} \frac{C_t \cdot t \cdot (t + 1)}{(1 + y)^{t + 2}}$, trong đó P là giá trái phiếu hiện tại, CtC_t là dòng tiền tại thời điểm t, y là yield to maturity, n là số kỳ hạn còn lại.

Một cách tính gần đúng convexity (“approximate convexity”) dùng giá trái phiếu khi lãi suất tăng hoặc giảm một lượng nhỏ là: $\text{Effective Convexity} = \frac{PV_{-} + PV_{+} - 2PV_{0}}{(\Delta y)^2 \cdot PV_{0}}$ , với PV− là giá nếu yield giảm, PV+ là giá nếu yield tăng, PV0 là giá ban đầu.

Ý nghĩa của convexity đối với nhà đầu tư

Convexity giúp nhà đầu tư ước tính chính xác hơn biến động giá trái phiếu khi lãi suất thay đổi lớn, vì duration chỉ tốt với biến động nhỏ. Khi lãi suất thay đổi, convexity điều chỉnh sai số do đường giá‑yield không tuyến tính, giúp chiến lược đầu tư ổn định hơn.

Trái phiếu với convexity cao mang lại lợi thế: khi lãi suất giảm, giá sẽ tăng mạnh; khi lãi suất tăng, giá sẽ giảm ít hơn so với trái phiếu có convexity thấp. Nhà đầu tư thường ưu tiên convexity khi dự đoán lãi suất thị trường biến động.

So sánh giữa duration và convexity

Duration (cụ thể là modified duration hoặc Macaulay duration) là đo lường mức độ thay đổi giá trái phiếu đối với sự thay đổi nhỏ của lãi suất, tức là đạo hàm bậc nhất của hàm giá theo yield. Convexity là đạo hàm bậc hai, đo độ cong, giúp hiệu chỉnh sai lệch khi biến động lớn.

Bảng so sánh:

Convexity dương và âm

Convexity dương là đặc điểm mong muốn của phần lớn trái phiếu truyền thống vì nó làm tăng tính ổn định giá và mang lại “lợi thế convex” cho nhà đầu tư. Khi lãi suất giảm, trái phiếu có convexity dương sẽ tăng giá nhanh hơn mức duration dự đoán, và khi lãi suất tăng, giá sẽ giảm chậm hơn. Điều này làm cho convexity dương trở thành chỉ tiêu quản lý rủi ro quan trọng trong đầu tư thu nhập cố định. (cfainstitute.org)

Ngược lại, convexity âm là hiện tượng gặp trong các công cụ nợ có tính tùy chọn, ví dụ như callable bonds hoặc mortgage-backed securities (MBS). Khi lãi suất giảm, người phát hành có xu hướng gọi lại trái phiếu (redeem early), hạn chế khả năng tăng giá của trái phiếu, dẫn đến đường cong giá-lãi suất bị “bẹt lại” — biểu hiện convexity âm. Trái phiếu với convexity âm thường yêu cầu lợi suất cao hơn (yield premium) để bù rủi ro phi tuyến. (corporatefinanceinstitute.com)

Convexity trong định giá trái phiếu

Trong định giá trái phiếu, convexity được dùng để điều chỉnh công thức ước lượng biến động giá khi lãi suất thay đổi. Kết hợp duration và convexity, ta có mô hình Taylor bậc hai giúp cải thiện độ chính xác trong mô phỏng giá trái phiếu. Công thức mở rộng:

$\Delta P \approx -D \cdot \Delta y + \frac{1}{2} \cdot Convexity \cdot (\Delta y)^2$

Trong đó:

• $\Delta P$: thay đổi giá trái phiếu
• $D$: duration hiệu dụng (modified hoặc Macaulay)
• $\Delta y$: mức thay đổi lợi suất

Công thức này minh họa rằng với mỗi đơn vị tăng thêm về độ biến động lãi suất, convexity giúp làm giảm sai lệch dự báo của duration, từ đó hỗ trợ các nhà quản lý tài sản đưa ra quyết định đầu tư chính xác hơn. (cfainstitute.org)

Ứng dụng trong quản lý danh mục đầu tư

Trong quản lý danh mục đầu tư, convexity được dùng để đánh giá và kiểm soát mức độ nhạy cảm phi tuyến với lãi suất. Một danh mục có convexity cao thường ổn định hơn khi thị trường biến động mạnh. Các nhà quản lý quỹ sử dụng duration và convexity để xây dựng danh mục “immunized” – nghĩa là miễn nhiễm trước thay đổi lãi suất. (treasury.gov)

Một ví dụ: nếu danh mục tài sản có duration và convexity cao hơn nghĩa vụ nợ, danh mục sẽ được hưởng lợi khi lãi suất biến động không thuận lợi. Điều này đặc biệt quan trọng với các quỹ hưu trí, bảo hiểm nhân thọ hoặc ngân hàng, nơi ổn định giá trị dài hạn là ưu tiên hàng đầu. (analystprep.com)

Hạn chế và nhược điểm của convexity

Dù hữu ích, convexity không phải là một thước đo hoàn hảo. Trước hết, nó giả định dòng tiền trái phiếu không thay đổi, nên không áp dụng trực tiếp cho trái phiếu có quyền chọn như callable hoặc putable bonds, vốn có dòng tiền phụ thuộc vào lãi suất. Trong trường hợp này, convexity thực (effective convexity) cần được sử dụng thay vì convexity truyền thống. (financestrategists.com)

Ngoài ra, convexity chỉ đo lường phản ứng với lãi suất, không tính đến rủi ro tín dụng, thanh khoản, lạm phát hay các cú sốc vĩ mô khác. Trong môi trường có các yếu tố phi tuyến mạnh như khủng hoảng tài chính hoặc biến động thanh khoản, convexity trở nên kém hiệu quả và phải kết hợp thêm với các công cụ định giá động (stochastic models). (cfainstitute.org)

Tài liệu tham khảo

1. Investopedia – Convexity
2. CFA Institute – Understanding Duration and Convexity
3. Corporate Finance Institute – Convexity
4. Finance Strategists – Convexity in Bonds
5. U.S. Treasury – Duration and Convexity (PDF)
6. AnalystPrep – Calculate and Interpret Convexity