Cực trị là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa cực trị

Trong giải tích toán học, điểm cực trị của hàm số là điểm tại đó giá trị của hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu so với vùng lân cận. Cực đại cục bộ là điểm mà trong một khoảng lân cận nhỏ quanh đó, giá trị hàm lớn hơn hoặc bằng mọi giá trị khác; ngược lại, cực tiểu cục bộ là điểm mà giá trị hàm nhỏ hơn hoặc bằng mọi giá trị khác. Cực trị toàn cục (hay toàn miền) là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà hàm đạt được trên toàn bộ miền xác định của nó.

Khái niệm cực trị không chỉ áp dụng cho hàm số một biến mà còn mở rộng cho các hàm nhiều biến và các bài toán tối ưu hóa trong kỹ thuật, kinh tế, vật lý. Việc xác định đúng điểm cực trị là bước quan trọng để giải bài toán tối ưu, ví dụ tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí hoặc xác định điểm cân bằng nhiệt động.

Để hiểu sâu sắc về cực trị, có thể tham khảo tài liệu chuyên sâu trên Wolfram MathWorld: mathworld.wolfram.com/Extremum.html.

Phân loại cực trị

Cực trị được phân thành hai loại chính: cục bộ (local) và toàn cục (global). Cực trị cục bộ chỉ xem xét sự thay đổi giá trị trong một khoảng nhỏ xung quanh điểm xét, trong khi cực trị toàn cục xem xét toàn miền xác định.

Trong cực trị cục bộ, còn chia thành hai dạng:

• Cực đại cục bộ: điểm x₀ sao cho tồn tại δ>0 với f(x₀) ≥ f(x) ∀ x ∈ (x₀−δ, x₀+δ).
• Cực tiểu cục bộ: điểm x₀ sao cho tồn tại δ>0 với f(x₀) ≤ f(x) ∀ x ∈ (x₀−δ, x₀+δ).

Cực trị toàn cục được xác định trên toàn bộ miền D do hàm số định nghĩa:

• Cực đại toàn cục: f(x₀) ≥ f(x) ∀ x ∈ D.
• Cực tiểu toàn cục: f(x₀) ≤ f(x) ∀ x ∈ D.

Phân biệt rõ các khái niệm này là bước nền tảng trước khi áp dụng các phương pháp tính đạo hàm và kiểm tra dấu để tìm đúng điểm cần thiết.

Điều kiện cần một biến

Với hàm số một biến f(x) xác định trên khoảng mở I, điểm x₀ ∈ I là điểm khả nghi để xét cực trị nếu đạo hàm f′(x) tồn tại tại đó và thỏa mãn f′(x₀) = 0 hoặc f′(x₀) không xác định. Đó gọi là điều kiện cần để có thể có cực trị tại x₀.

Công thức toán học thể hiện điều kiện cần:

$f'(x_0)=0 \quad \text{hoặc} \quad f'(x_0) \ \text{không xác định}$

Ví dụ, hàm f(x)=x^{1/3} có đạo hàm không xác định tại x=0, và đây cũng là điểm cực tiểu cục bộ. Tham khảo thêm về điều kiện cần tại Khan Academy: khanacademy.org.

Kiểm tra bằng nghiệm đạo hàm

Sau khi xác định được các điểm khả nghi x₀ thỏa mãn f′(x₀)=0 hoặc không xác định, ta kiểm tra dấu của f′(x) hai bên x₀ để xác định loại cực trị. Nếu f′(x) chuyển từ dương sang âm qua x₀ thì x₀ là cực đại; nếu chuyển từ âm sang dương thì x₀ là cực tiểu.

Phương pháp này trực quan và dễ áp dụng trong các bài tập giải tích cơ bản. Xem thêm ví dụ chi tiết tại Paul’s Online Math Notes: tutorial.math.lamar.edu.

Kiểm tra bằng đạo hàm cấp hai

Sau khi đã xác định các điểm khả nghi x₀ thỏa mãn f′(x₀)=0 hoặc không xác định, bước tiếp theo là sử dụng đạo hàm bậc hai để phân loại cực trị. Điều kiện đủ đối với hàm hai lần khả vi là:

$f''(x_0)> \begin{cases} >0 & \text{→ cực tiểu cục bộ}\\ <0 & \text{→ cực đại cục bộ}\\ =0 & \text{→ kiểm tra tiếp hoặc không phân loại được} \end{cases}$

Nếu f″(x₀)>0 thì đồ thị lõm lên (concave up), chứng tỏ x₀ là điểm cực tiểu cục bộ; ngược lại f″(x₀)<0 đồ thị lõm xuống (concave down) cho thấy x₀ là cực đại cục bộ. Trường hợp f″(x₀)=0 cần xem xét đạo hàm bậc cao hơn hoặc phương pháp khác.

Tham khảo ví dụ áp dụng điều kiện đủ và các trường hợp đặc biệt tại MathWorks: Second Derivative Test.

Cực trị đa biến và gradient

Với hàm nhiều biến f(x,y,…), điểm tới hạn (critical point) x₀ được xác định khi gradient ∇f=0. Gradient là vector các đạo hàm riêng, thể hiện hướng tăng nhanh nhất của hàm số:

$\nabla f(x,y,\dots)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\dots\Bigr)$

Điều kiện cần là mọi thành phần đạo hàm riêng tại x₀ phải bằng 0 hoặc không xác định. Sau đó, cần phân tích tiếp với ma trận Hessian để phân loại cực trị tại điểm đó.

Chi tiết về phương pháp gradient và cách tính điểm tới hạn nhiều biến có thể xem tại MIT OCW: MIT OCW Multivariable Calculus.

Ma trận Hessian và kiểm tra

Ma trận Hessian H tại điểm tới hạn x₀ chứa các đạo hàm riêng bậc hai, dùng để phân loại cực trị đa biến:

$H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \dots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

Phân loại dựa trên định thức con chính (Sylvester): nếu tất cả định thức con chính dương → H dương định (cực tiểu), ngược lại dấu luân phiên → H âm định (cực đại). Trường hợp hỗn hợp hoặc có định thức con bằng 0 cần xét sâu hơn.

Cực trị có ràng buộc và nhân tử Lagrange

Khi tối ưu hàm f(x,y,…) chịu ràng buộc g(x,y,…)=0, phương pháp nhân tử Lagrange giải hệ:

$\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y)$

Giải hệ phương trình ∇ₓ,ᵧ,ₗ𝑎𝑚𝑏𝑑𝑎 𝓛=0; kết hợp với g(x,y)=0 để tìm các điểm ứng viên. Phương pháp mở rộng cho nhiều ràng buộc bằng cách thêm nhân tử cho từng điều kiện.

Xem hướng dẫn chi tiết tại Wolfram MathWorld: Lagrange Multiplier.

Phương pháp số tìm cực trị

Khi hàm phức tạp hoặc không khả vi, cần dùng phương pháp số:

• Gradient Descent: Lặp cập nhật x_{n+1}=x_n−α∇f(x_n) để tìm điểm cực tiểu; biến thể Adam và RMSprop cải thiện tốc độ hội tụ.
• Newton’s Method: Dùng bổ đề Hessian, cập nhật x_{n+1}=x_n−H^{-1}(x_n)∇f(x_n) cho hội tụ nhanh hơn nhưng tốn tính toán.
• Simulated Annealing và Genetic Algorithms: Thuật toán ngẫu nhiên cho bài toán đa cực trị và bài toán ràng buộc phức tạp.

Chi tiết ứng dụng các thuật toán tối ưu số có thể tham khảo MathWorks: Optimization Toolbox.

Ứng dụng và ví dụ thực tiễn

Trong kỹ thuật, xác định cực trị giúp tối ưu thiết kế kết cấu, giảm trọng lượng và tăng độ bền. Ví dụ, tìm độ dày vỏ tối ưu cho cột bê tông nhằm tối thiểu chi phí vật liệu.

Trong học máy, hàm mất mát (loss function) thường tối thiểu hóa bằng gradient descent để huấn luyện mô hình. Việc tránh hội tụ vào cực đại hoặc điểm yên ngựa (saddle point) là thách thức lớn.

• Kinh tế: Tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí sản xuất.
• Xử lý ảnh: Tìm biên cạnh bằng điểm cực trị cục bộ của gradient ảnh.
• Vật lý: Xác định trạng thái cân bằng năng lượng tối thiểu trong phân tích cơ học lượng tử.

Tài liệu tham khảo

• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
• Boyd, S.; Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
• MathWorks. (2025). “Second Derivative Test”. mathworks.com
• MIT OpenCourseWare. (2025). “Multivariable Calculus”. ocw.mit.edu
• Wolfram MathWorld. (2025). “Lagrange Multiplier”. mathworld.wolfram.com
• MathWorks. (2025). “Optimization Toolbox”. mathworks.com