Độ cong không gian khác gì so với độ cong không thời gian?

Độ cong không thời gian là độ cong nội tại của đa tạp bốn chiều mô tả trường hấp dẫn theo thuyết tương đối tổng quát của Albert Einstein, được đặc trưng bởi tensor Riemann đầy đủ. Ngược lại, độ cong không gian chỉ xét riêng hình học nội tại của các siêu mặt ba chiều đồng thời sau khi tách biệt tọa độ thời gian vũ trụ trong hệ tọa độ đồng chuyển. Một không thời gian có thể bị cong do mật độ năng lượng và vật chất nhưng các lát cắt không gian ba chiều của nó vẫn có thể hoàn toàn phẳng theo hình học Euclid.

Tham số mật độ độ cong Omega_K có ý nghĩa vật lý như thế nào trong phương trình Friedmann?

Tham số mật độ độ cong biểu thị tỷ số giữa số hạng độ cong không gian và bình phương tốc độ giãn nở Hubble trong phương trình Friedmann thứ nhất. Khi tổng các tham số mật độ thành phần vật chất, bức xạ và năng lượng tối bằng 1 thì tham số độ cong bằng 0, tương ứng với vũ trụ phẳng. Nếu tổng mật độ lớn hơn 1 thì tham số độ cong mang giá trị âm ứng với hình học cầu đóng, còn khi tổng mật độ nhỏ hơn 1 thì tham số độ cong mang giá trị dương ứng với hình học hyperbol mở.

Dữ liệu quan sát từ vệ tinh Planck cho thấy vũ trụ có hình học phẳng hay cong?

Dữ liệu bức xạ phông vi sóng vũ trụ từ vệ tinh Planck khi kết hợp với hiện tượng thấu kính hấp dẫn và dao động âm học baryon cho kết quả tham số độ cong là 0.0007 với sai số 0.0019 ở mức tin cậy 68%. Ở mức tin cậy 95%, độ lớn của tham số độ cong bị giới hạn dưới 0.005 (độ lệch không quá 0.5% so với độ phẳng). Kết quả này tương thích cao với giá trị 0 của một vũ trụ phẳng theo hình học Euclid trong giới hạn sai số cực nhỏ 0.2%. Mặc dù dữ liệu phổ nhiệt độ đơn lẻ của Planck có xu hướng gợi ý vũ trụ đóng ở mức khoảng 2 độ lệch chuẩn, sự suy biến hình học này bị triệt tiêu hoàn toàn khi bổ sung dữ liệu cấu trúc quy mô lớn.

Tại sao cơ chế lạm phát vũ trụ lại dự đoán độ cong không gian tiệm cận bằng không?

Trong giai đoạn vũ trụ sơ khai, cơ chế lạm phát làm không gian giãn nở theo hàm mũ với hệ số tăng trưởng cực lớn trong một khoảng thời gian vô cùng ngắn. Quá trình giãn nở khổng lồ này kéo giãn mọi sự cong queo hình học ban đầu, làm bán kính cong vật lý của vũ trụ tăng vọt và đưa mật độ năng lượng toàn phần tiến sát tới mật độ tới hạn. Hệ quả tất yếu là tham số mật độ độ cong bị triệt tiêu về gần 0, giải thích thỏa đáng bài toán độ phẳng hóc búa của thuyết Vụ Nổ Lớn kinh điển.

Độ cong không gian (spatial curvature) là gì?

Độ cong không gian (spatial curvature) là đại lượng hình học mô tả mức độ sai lệch của các lát cắt không gian ba chiều so với hình học phẳng Euclid trong không thời gian bốn chiều của thuyết tương đối tổng quát và mô hình vũ trụ học chuẩn. Khái niệm này xác định cấu trúc hình học nội tại của không gian ở quy mô vũ trụ, quy định tổng các góc trong một tam giác trắc địa và quyết định mối quan hệ giữa mật độ năng lượng toàn phần với động lực học giãn nở của vũ trụ thông qua các phương trình Friedmann.

Bản chất hình học và sự phân định với độ cong không thời gian

Trong vật lý lý thuyết và thiên văn học hiện đại, việc phân biệt giữa độ cong không thời gian bốn chiều và độ cong không gian ba chiều có ý nghĩa bản chất. Theo thuyết tương đối tổng quát do Albert Einstein thiết lập vào năm 1915, trường hấp dẫn không phải là một lực cơ học truyền tải trong không gian tĩnh tại mà là biểu hiện của độ cong không thời gian bốn chiều dưới tác động của phân bố năng lượng và xung lượng.

Để nghiên cứu động lực học vũ trụ, người ta thực hiện phân rã không thời gian bốn chiều thành một họ các siêu mặt không gian ba chiều đồng thời được tham số hóa bởi thời gian vũ trụ. Độ cong không gian phản ánh hình học nội tại của các siêu mặt đồng thời này. Độ cong nội tại (intrinsic curvature) được xác định hoàn toàn bởi các phép đo khoảng cách thực hiện bên trong chính không gian đó mà không cần tham chiếu đến bất kỳ không gian bao quanh có số chiều cao hơn nào, phù hợp với định lý tuyệt vời (Theorema Egregium) của Carl Friedrich Gauss.

Một không thời gian bốn chiều có thể bị uốn cong mạnh mẽ do mật độ năng lượng của vật chất và bức xạ, nhưng các lát cắt không gian ba chiều đồng thời của nó vẫn có thể hoàn toàn phẳng theo hình học Euclid. Ngược lại, một không gian ba chiều có thể mang độ cong dương hoặc âm trong khi các thành phần không thời gian bốn chiều biến thiên nhịp nhàng theo thời gian. Sự độc lập tương đối này là cơ sở để các nhà vũ trụ học khảo sát riêng biệt hình học không gian của vũ trụ.

Cơ sở toán học trong hình học vi phân Riemann

Nền tảng toán học của độ cong không gian bắt nguồn từ bài thuyết trình lịch sử năm 1854 của Bernhard Riemann, được công bố chính thức vào năm 1868, đặt nền móng cho hình học vi phân trên các đa tạp khả vi. Sau đó, tác phẩm kinh điển của Luther Pfahler Eisenhart xuất bản năm 1926 và tái bản năm 1950 đã hệ thống hóa lý thuyết đa tạp Riemann và không gian có độ cong không đổi. Trong các giáo trình hiện đại như của Sean Carroll xuất bản năm 2004 và tái bản năm 2019 hay John M. Lee xuất bản năm 2018, độ cong được hình thức hóa thông qua giải tích tensor chặt chẽ.

Tensor độ cong Riemann và các phép co rút

Độ cong của một đa tạp Riemann hoặc pseudo-Riemann được đo lường thông qua tensor độ cong Riemann bốn chỉ số. Đại lượng này biểu thị sự không giao hoán của đạo hàm hiệp biến bậc hai khi tác dụng lên một trường vector bất kỳ:

[ abla_\mu, abla_ u] V^\rho = R^\rho{}_{\sigma\mu u} V^\sigma

Trong hệ tọa độ cục bộ, tensor Riemann được tính toán thông qua các đạo hàm riêng của ký hiệu liên thông Christoffel bậc hai:

R^\rho{}_{\sigma\mu u} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{ u\sigma} - \partial_ u \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{ u\sigma} - \Gamma^\rho_{ u\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma}

Trong đó, ký hiệu $abla_\mu$ là toán tử đạo hàm hiệp biến theo hướng tọa độ thứ $\mu$ , $V^\sigma$ là thành phần của trường vector, và $\Gamma^\rho_{ u\sigma}$ là liên thông Christoffel được xác định từ tensor mêtric và các đạo hàm riêng bậc nhất của nó. Tensor Riemann thỏa mãn các tính chất đối xứng hoán vị cơ bản bao gồm tính phản đối xứng qua hai chỉ số đầu và hai chỉ số cuối, tính đối xứng khi tráo đổi cặp chỉ số, cùng đồng nhất thức Bianchi thứ nhất:

R^\rho{}_{\sigma\mu u} + R^\rho{}_{\mu u\sigma} + R^\rho{}_{ u\sigma\mu} = 0

Bằng cách co rút một chỉ số trên với một chỉ số dưới của tensor Riemann, ta thu được tensor Ricci cấp hai:

R_{\mu u} = R^\lambda{}_{\mu\lambda u}

Tiếp tục co rút tensor Ricci với tensor mêtric nghịch đảo, ta nhận được đại lượng vô hướng Ricci đại diện cho độ cong vết:

R = g^{\mu u} R_{\mu u}

Trong đó, ký hiệu $g^{\mu u}$ là các thành phần của tensor mêtric nghịch đảo trong không thời gian.

Độ cong phân tiết và định lý Schur

Đối với một đa tạp Riemann ba chiều đại diện cho không gian tại một thời điểm cố định, cấu trúc độ cong tại mỗi điểm có thể được hiểu trọn vẹn thông qua độ cong phân tiết (sectional curvature). Với một mặt phẳng hai chiều tiếp xúc được căng bởi hai vector độc lập tuyến tính $u$ và $v$ , độ cong phân tiết được định nghĩa bởi biểu thức:

K(u, v) = \frac{\langle R(u, v)v, u \rangle}{\|u\|^2 \|v\|^2 - \langle u, v \rangle^2}

Theo định lý Schur trong hình học vi phân, nếu một đa tạp Riemann liên thông có số chiều lớn hơn hoặc bằng ba và có tính đẳng hướng tại mọi điểm (nghĩa là độ cong phân tiết tại mỗi điểm không phụ thuộc vào phương của mặt phẳng hai chiều được chọn), thì độ cong phân tiết đó là một hằng số đồng nhất trên toàn bộ đa tạp. Khi đó, không gian ba chiều trở thành một không gian đối xứng cực đại (maximally symmetric space), và tensor Riemann của không gian ba chiều được biểu diễn dưới dạng rút gọn:

^{(3)}R_{ijlm} = k (\gamma_{il} \gamma_{jm} - \gamma_{im} \gamma_{jl})

Trong đó, $^{(3)}R_{ijlm}$ là tensor độ cong Riemann của không gian ba chiều, ký hiệu $\gamma_{ij}$ là tensor mêtric không gian cảm ứng, và $k$ là tham số độ cong chuẩn hóa có giá trị quy ước thuộc tập hợp $\{-1, 0, +1\}$ . Tensor Ricci không gian ba chiều tương ứng là $^{(3)}R_{ij} = 2 k \gamma_{ij}$ , và vô hướng Ricci không gian ba chiều tỷ lệ nghịch với bình phương hệ số co giãn: $^{(3)}R = \frac{6k}{a(t)^2}$ .

Mêtric FLRW và ba hình học không gian khả dĩ

Nguyên lý vũ trụ học giả định rằng ở các thang khoảng cách quy mô lớn vượt trên 100 megaparsec, vũ trụ có tính đồng nhất (mọi vị trí đều bình đẳng) và đẳng hướng (mọi hướng nhìn đều như nhau). Dưới giả thiết đối xứng cao độ này, như cuốn giáo trình của Barbara Ryden xuất bản năm 2016 và công trình của Peebles xuất bản năm 1993 và tái bản năm 2020 đã làm rõ, Howard Robertson vào năm 1935 và Arthur Walker vào năm 1936 đã chứng minh dạng mêtric tổng quát duy nhất của không thời gian, gọi là mêtric Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW):

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (dheta^2 + \sin^2heta d\phi^2) \right]

Trong hệ thức trên, $ds$ là vi phân khoảng cách không thời gian bất biến, $c$ là tốc độ ánh sáng trong chân không, $t$ là thời gian vũ trụ đo bởi người quan sát đồng chuyển, $a(t)$ là hệ số co giãn không gian phụ thuộc thời gian mang thứ nguyên độ dài hoặc chuẩn hóa không thứ nguyên, $r$ là tọa độ bán kính đồng chuyển không thứ nguyên, và các góc $heta, \phi$ là tọa độ cầu tiêu chuẩn. Giá trị của tham số độ cong $k$ quyết định trực tiếp dạng hình học của các lát cắt không gian ba chiều:

Không gian phẳng Euclid ( $k = 0$ ): Các lát cắt không gian có độ cong nội tại triệt tiêu, vô hướng Ricci bằng không. Khoảng cách không gian tuân thủ định lý Pythagoras thông thường. Tổng ba góc trong một tam giác trắc địa luôn bằng đúng 180 độ. Chu vi của một đường tròn bán kính trắc địa $\chi$ bằng đúng $2\pi\chi$ và thể tích của hình cầu bằng $\frac{4}{3}\pi\chi^3$ . Tô pô chuẩn của không gian này là không gian vô hạn $\mathbb{R}^3$ .
Không gian cong dương hình cầu ( $k = +1$ ): Các lát cắt không gian tương đương với một mặt cầu ba chiều $S^3$ nhúng trong không gian Euclid bốn chiều. Không gian có thể tích hữu hạn nhưng hoàn toàn không có biên giới hoặc ranh giới biên. Tổng ba góc của một tam giác trắc địa luôn lớn hơn 180 độ. Chu vi của một đường tròn bán kính trắc địa $\chi$ bằng $2\pi a \sin(\chi/a)$ , luôn nhỏ hơn $2\pi\chi$ , cho thấy không gian uốn cong khép kín vào chính nó.
Không gian cong âm hyperbol ( $k = -1$ ): Các lát cắt không gian là một không gian hyperbol ba chiều $\mathbb{H}^3$ (mặt yên ngựa đa chiều). Thể tích của không gian là vô hạn. Tổng ba góc trong một tam giác trắc địa luôn nhỏ hơn 180 độ. Chu vi của một đường tròn bán kính trắc địa $\chi$ bằng $2\pi a \sinh(\chi/a)$ , luôn lớn hơn $2\pi\chi$ , thể hiện sự phân kỳ nhanh chóng của các tia trắc địa xuất phát từ cùng một điểm.

Bảng dưới đây so sánh chi tiết các đặc trưng toán học và hình học của ba mô hình không gian trong vũ trụ học FLRW:

Đặc tính hình học	Hình học phẳng	Hình học cầu (cong dương)	Hình học hyperbol (cong âm)
Tham số độ cong	Giá trị chuẩn hóa: $k = 0$	Giá trị chuẩn hóa: $k = +1$	Giá trị chuẩn hóa: $k = -1$
Cấu trúc tô pô chuẩn	Không gian Euclid ba chiều	Mặt cầu ba chiều khép kín	Không gian hyperbol mở
Tổng ba góc tam giác trắc địa	Bằng 180 độ	Lớn hơn 180 độ	Nhỏ hơn 180 độ
Vô hướng Ricci không gian	Độ cong bằng không: $^{(3)}R = 0$	Độ cong dương: $^{(3)}R > 0$	Độ cong âm: $^{(3)}R < 0$
Mối quan hệ mật độ tới hạn	Mật độ bằng tới hạn: $\Omega_{ext{tot}} = 1$	Mật độ lớn hơn tới hạn: $\Omega_{ext{tot}} > 1$	Mật độ nhỏ hơn tới hạn: $\Omega_{ext{tot}} < 1$

Động lực học vũ trụ và tham số mật độ độ cong

Mối liên hệ giữa độ cong không gian và sự tiến hóa của vũ trụ được phản ánh tường minh qua các phương trình Friedmann, do nhà toán học Alexander Friedmann tìm ra vào năm 1922 và Georges Lemaître độc lập phát triển vào năm 1927. Bằng cách áp dụng phương trình trường Einstein cho mêtric FLRW với tensor năng lượng xung lượng của một chất lưu hoàn hảo, ta thu được phương trình Friedmann thứ nhất:

H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}

Trong phương trình này, ký hiệu $H(t)$ là thông số Hubble mô tả tốc độ giãn nở tương đối của không gian, $\dot{a}$ là đạo hàm bậc nhất của hệ số co giãn theo thời gian vũ trụ, $G$ là hằng số hấp dẫn Newton, $\rho$ là mật độ năng lượng tổng cộng của vật chất và bức xạ, $c$ là tốc độ ánh sáng, và $\Lambda$ là hằng số vũ trụ do Albert Einstein đưa ra vào năm 1917.

Để đơn giản hóa việc phân tích, các nhà vũ trụ học định nghĩa mật độ tới hạn (critical density) tại mỗi thời điểm là mật độ năng lượng cần thiết để làm cho không gian trở nên phẳng tuyệt đối:

\rho_c(t) \equiv \frac{3 H(t)^2}{8\pi G}

Từ đó, mật độ của từng thành phần trong vũ trụ được biểu thị dưới dạng tham số mật độ vô thứ nguyên thông qua tỷ số giữa mật độ thực tế và mật độ tới hạn:

Tham số mật độ vật chất: $\Omega_m \equiv \frac{\rho_m}{\rho_c}$ , bao gồm vật chất baryon thông thường và vật chất tối lạnh.
Tham số mật độ bức xạ: $\Omega_r \equiv \frac{\rho_r}{\rho_c}$ , bao gồm photon và neutrino tương đối tính.
Tham số mật độ năng lượng tối: $\Omega_\Lambda \equiv \frac{\Lambda c^2}{3 H^2}$ , tương ứng với hằng số vũ trụ hoặc năng lượng chân không.

Chia hai vế của phương trình Friedmann thứ nhất cho $H^2$ , ta thu được hệ thức đại số chuẩn mực liên kết các thành phần mật độ với độ cong không gian:

1 = \Omega_m + \Omega_r + \Omega_\Lambda - \frac{k c^2}{a^2 H^2}

Đại lượng cuối cùng trong phương trình được đặt tên là tham số mật độ độ cong, ký hiệu là $\Omega_K$ :

\Omega_K \equiv -\frac{k c^2}{a^2 H^2} = 1 - \Omega_{ext{tot}}

Trong đó, $\Omega_{ext{tot}} \equiv \Omega_m + \Omega_r + \Omega_\Lambda$ là tổng mật độ năng lượng vô thứ nguyên của vũ trụ. Dấu âm trong định nghĩa của $\Omega_K$ dẫn đến mối liên hệ trực quan nhưng cần lưu ý: vũ trụ đóng có độ cong dương ( $k = +1$ ) tương ứng với $\Omega_K < 0$ và $\Omega_{ext{tot}} > 1$ ; vũ trụ mở có độ cong âm ( $k = -1$ ) tương ứng với $\Omega_K > 0$ và $\Omega_{ext{tot}} < 1$ ; và vũ trụ phẳng ( $k = 0$ ) có $\Omega_K = 0$ và $\Omega_{ext{tot}} = 1$ .

Bán kính cong vật lý hiện tại của không gian, ký hiệu là $R_c$ , liên hệ trực tiếp với tham số độ cong thông qua biểu thức:

R_c = \frac{c}{H_0 \sqrt{|\Omega_K|}}

Khi $\Omega_K$ càng tiệm cận sát giá trị không, bán kính cong của vũ trụ càng tiến dần tới vô cùng, đồng nghĩa với việc không gian quan sát được trở nên phẳng đến mức không thể phân biệt bằng thực nghiệm cục bộ.

Bài toán độ phẳng và lời giải từ thuyết lạm phát vũ trụ

Trong khuôn khổ vũ trụ học Vụ Nổ Lớn kinh điển, độ cong không gian đặt ra một vấn đề tinh chỉnh cực kỳ hóc búa, gọi là bài toán độ phẳng (flatness problem). Khi khảo sát đạo hàm theo thời gian của sai lệch độ phẳng từ phương trình Friedmann, ta nhận thấy rằng trong các giai đoạn vũ trụ bị chi phối bởi vật chất không áp suất hoặc bức xạ tương đối tính, điểm cân bằng $\Omega = 1$ là một điểm cân bằng không bền:

\frac{d}{dt} |\Omega_{ext{tot}}(t) - 1| = 2 \frac{\ddot{a}}{\dot{a}^3} \frac{k c^2}{a^2}

Bởi vì lực hấp dẫn hút thông thường làm giảm tốc độ giãn nở của không gian ( $\ddot{a} < 0$ ), đại lượng $|\Omega_{ext{tot}} - 1|$ tăng trưởng liên tục theo thời gian theo hàm lũy thừa của hệ số co giãn. Nếu ở thời kỳ sơ khai của vũ trụ, mật độ năng lượng chỉ lệch khỏi mật độ tới hạn một phần tỷ tỷ, sự bất ổn định này sẽ khuếch đại nhanh chóng, khiến vũ trụ hoặc đã tái co sụp thành một vụ co lớn chỉ sau vài tích tắc, hoặc đã giãn nở loãng đến mức các thiên hà và ngôi sao không bao giờ có thể hình thành.

Để giải thích vì sao giá trị $\Omega_{ext{tot}}$ vẫn duy trì cực kỳ gần 1 ở thời điểm hiện tại sau nhiều tỷ năm tiến hóa, nhà vật lý Alan Guth vào năm 1981 đã đề xuất thuyết lạm phát vũ trụ (cosmic inflation). Thuyết lạm phát giả định rằng trong giai đoạn vũ trụ sơ khai, vũ trụ đã trải qua một thời kỳ giãn nở gia tốc theo hàm mũ cực độ, được dẫn dắt bởi mật độ năng lượng thế năng của một trường vô hướng gọi là trường inflaton.

Trong giai đoạn lạm phát giãn nở gia tốc ( $\ddot{a} > 0$ ), số hạng độ cong $\frac{k c^2}{a^2 H^2}$ giảm nhanh chóng về không theo hàm số mũ. Không gian ba chiều bị kéo căng mạnh mẽ, làm phẳng mọi độ cong ban đầu của vũ trụ tương tự như việc bề mặt của một quả bóng cao su trở nên phẳng phẳng khi được thổi phồng lên gấp nhiều lần kích thước ban đầu. Kết thúc thời kỳ lạm phát, tham số độ cong bị triệt tiêu sát mức không, đưa ra dự báo lý thuyết vững chắc rằng vũ trụ quan sát được phải có hình học không gian phẳng với độ chính xác vô cùng cao.

Đo đạc thực nghiệm và kết quả từ vệ tinh Planck

Việc xác định hình học và độ cong không gian là một trong những mục tiêu khoa học hàng đầu của vũ trụ học quan sát hiện đại. Ba phương pháp quan sát chủ chốt bao gồm:

Vị trí góc của các đỉnh âm học trong bức xạ phông vi sóng vũ trụ (CMB): Bức xạ phông vi sóng vũ trụ phát ra từ thời điểm tái kết hợp đóng vai trò như một nguồn sáng ở khoảng cách cực xa. Thước đo âm học (sound horizon) tại thời điểm tán xạ cuối cùng có kích thước vật lý được tính toán chính xác từ vật lý plasma sơ khai. Góc trông của thước đo này trên bầu trời phụ thuộc trực tiếp vào khoảng cách đường kính góc, vốn là hàm số cực kỳ nhạy đối với độ cong không gian. Nếu không gian có độ cong dương, các tia sáng bị hội tụ khiến góc trông lớn hơn; nếu không gian có độ cong âm, các tia sáng bị phân kỳ khiến góc trông nhỏ hơn.
Dao động âm học baryon (baryon acoustic oscillations, BAO): Sự truyền sóng âm trong plasma sơ khai để lại dấu ấn đặc trưng trong sự phân bố quy mô lớn của các thiên hà ở các kỷ nguyên muộn hơn. Việc đo đạc quy mô BAO ở nhiều dịch chuyển đỏ khác nhau cung cấp một thước đo hình học tiêu chuẩn độc lập, giúp phá vỡ các suy biến tham số vốn có trong phân tích dữ liệu CMB đơn lẻ.
Hiện tượng thấu kính hấp dẫn yếu trên CMB: Các photon CMB trên đường truyền tới người quan sát bị bẻ cong bởi trường hấp dẫn của các cấu trúc quy mô lớn dọc đường đi, làm nhòe và biến dạng phổ công suất góc của dị hướng nhiệt độ và phân cực.

Năm 2020, nhóm nghiên cứu Planck Collaboration đã công bố các kết quả phân tích đầy đủ từ dữ liệu của kính viễn vọng không gian Planck trên tạp chí Astronomy and Astrophysics số 641, thiết lập các giới hạn đo lường độ cong chính xác nhất trong lịch sử:

Khi chỉ sử dụng dữ liệu phổ công suất dị hướng nhiệt độ và phân cực đơn lẻ từ Planck TT, TE, EE kết hợp với dữ liệu phân cực góc lớn lowE, kết quả thu được là $\Omega_K = -0.044^{+0.018}_{-0.015}$ với khoảng tin cậy từ 0.018 đến 0.015. Kết quả này gợi ý nhẹ về khả năng vũ trụ đóng ở mức ý nghĩa thống kê khoảng 2 đến 2,4 độ lệch chuẩn (khoảng 2 sigma), xuất phát từ hiện tượng suy biến hình học giữa độ cong không gian, hằng số Hubble và biên độ thấu kính hấp dẫn trong dữ liệu phổ công suất CMB.
Khi bổ sung phép đo tái tạo thấu kính hấp dẫn CMB độc lập từ chính dữ liệu Planck, tham số độ cong được hiệu chỉnh về giá trị $\Omega_K = -0.0106 \pm 0.0065$ , kéo kết quả quay trở lại rất gần với độ phẳng tuyệt đối.
Đặc biệt, khi kết hợp dữ liệu toàn diện của Planck với các phép đo dao động âm học baryon (BAO) từ các cuộc khảo sát thiên hà quy mô lớn, sự suy biến hình học bị triệt tiêu hoàn toàn. Kết quả kết hợp chuẩn mực đạt được là $\Omega_K = 0.0007 \pm 0.0019$ ở mức tin cậy 68%.

Giá trị $\Omega_K = 0.0007 \pm 0.0019$ tương thích hoàn hảo với giá trị không của một không gian phẳng Euclid trong giới hạn sai số đo đạc cực kỳ chặt chẽ. Ở mức tin cậy 95%, độ lớn $|\Omega_K| < 0.005$ (nghĩa là độ cong lệch khỏi 0 không quá 0.5%) và sai số thực nghiệm $\pm 0.0019$ (tương đương 0.2%). Kết quả này củng cố vững chắc mô hình chuẩn Lambda-CDM với giả định không gian phẳng Euclid, đồng thời phù hợp hoàn toàn với tiên đoán căn bản của thuyết lạm phát vũ trụ.

Giới hạn lý thuyết và sự phân biệt giữa hình học và tô pô toàn cục

Mặc dù các dữ liệu quan sát khẳng định mạnh mẽ rằng không gian ba chiều có độ cong cục bộ triệt tiêu, các nhà vật lý lý thuyết lưu ý rằng độ cong hình học vi phân không đồng nhất với cấu trúc tô pô toàn cục của vũ trụ. Phương trình trường Einstein chỉ quyết định độ cong cục bộ thông qua tensor mêtric mà không cố định cấu trúc tô pô tổng thể của đa tạp không gian.

Một không gian có độ cong Riemann bằng không tại mọi điểm (cục bộ phẳng) không nhất thiết phải là không gian Euclid mở vô hạn $\mathbb{R}^3$ . Không gian đó hoàn toàn có thể sở hữu một cấu trúc tô pô đa liên thông compact với thể tích hữu hạn, chẳng hạn như hình xuyến ba chiều (three-torus, ký hiệu là $T^3$ ). Trong một vũ trụ hình xuyến, không gian vẫn phẳng hoàn hảo tại mọi điểm cục bộ và tổng ba góc của tam giác vẫn bằng 180 độ, nhưng một tia sáng truyền đi theo một hướng nhất định có thể quay trở lại điểm xuất phát sau khi vượt qua chu vi của hình xuyến.

Mặt khác, các phép đo thực nghiệm của con người luôn bị giới hạn bên trong chân trời hạt (particle horizon) của vũ trụ quan sát được. Việc các quan sát thiên văn đo được $\Omega_K \approx 0$ chỉ chứng minh rằng bán kính cong của không gian lớn hơn đáng kể so với kích thước của chân trời quan sát hiện tại. Do đó, việc vũ trụ toàn thể là vô hạn hay hữu hạn, có tô pô đơn liên hay đa liên, và liệu có mang độ cong ở quy mô siêu chân trời hay không vẫn là những câu hỏi mở sâu sắc của vũ trụ học hiện đại đang chờ đón các đài quan sát thế hệ tiếp theo giải mã.