Các bề mặt tối thiểu nhúng trong $${\mathbb {R}}^n$$

Mathematische Zeitschrift - Tập 283 - Trang 1-24 - 2015
Antonio Alarcón1, Franc Forstnerič2,3, Francisco J. López4
1Departamento de Geometría y Topología e Instituto de Matemáticas (IEMath-GR), Universidad de Granada, Granada, Spain
2Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana, Ljubljana, Slovenia
3Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana, Slovenia
4Departamento de Geometría y Topología, Universidad de Granada, Granada, Spain

Tóm tắt

Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh rằng mỗi phép nhúng tối thiểu đồng dạng của một mặt phẳng Riemann mở vào trong $${\mathbb {R}}^n$$ với $$n\ge 5$$ có thể được xấp xỉ đồng nhất trên các tập compact bằng các phép nhúng tối thiểu đồng dạng (xem Định lý 1.1). Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra rằng mỗi mặt phẳng Riemann mở đều mang một phép nhúng tối thiểu đồng dạng thích hợp vào trong $${\mathbb {R}}^5$$ (xem Định lý 1.2). Một trong những công cụ chính của chúng tôi là một định lý xấp xỉ Mergelyan cho các phép nhúng tối thiểu đồng dạng vào trong $${\mathbb {R}}^n$$ cho bất kỳ $$n\ge 3$$, điều này cũng được chứng minh trong bài báo (xem Định lý 5.3).

Từ khóa


Tài liệu tham khảo

Abraham, R.: Transversality in manifolds of mappings. Bull. Am. Math. Soc. 69, 470–474 (1963)

Alarcón, A., Fernández, I., López, F.J.: Harmonic mappings and conformal minimal immersions of Riemann surfaces into \({\mathbb{R}}^N\). Calc. Var. Partial Differ. Equ. 47, 227–242 (2013)

Alarcón, A., Forstnerič, F.: Null curves and directed immersions of open Riemann surfaces. Invent. Math. 196, 733–771 (2014)

Alarcón, A., Forstnerič, F.: Every conformal minimal surface in \({\mathbb{R}}^3\) is isotopic to the real part of a holomorphic null curve. J. Reine Angew. Math. (in press). arxiv:1408.5315

Alarcón, A., López, F.J.: Minimal surfaces in \({\mathbb{R}}^3\) properly projecting into \({\mathbb{R}}^2\). J. Differ. Geom. 90, 351–382 (2012)

Alarcón, A., López, F.J.: Properness of associated minimal surfaces. Trans. Am. Math. Soc. 366, 5139–5154 (2014)

Alarcón, A., López, F.J.: Proper holomorphic embeddings of Riemann surfaces with arbitrary topology into \({\mathbb{C}}^2\). J. Geom. Anal. 23, 1794–1805 (2013)

Bell, S.R., Narasimhan, R.: Proper holomorphic mappings of complex spaces. Encyc. Math. Sci. 69, 1–38 (1990)

Bishop, E.: Mappings of partially analytic spaces. Am. J. Math. 83, 209–242 (1961)

Černe, M., Forstnerič, F.: Embedding some bordered Riemann surfaces in the affine plane. Math. Res. Lett. 9, 683–696 (2002)

Drinovec Drnovšek, B., Forstnerič, F.: Holomorphic curves in complex spaces. Duke Math. J. 139, 203–254 (2007)

Drinovec Drnovšek, B., Forstnerič, F.: Approximation of holomorphic mappings on strongly pseudoconvex domains. Forum Math. 20, 817–840 (2008)

Eliashberg, Y., Gromov, M.: Embeddings of Stein manifolds of dimension \(n\) into the affine space of dimension \(3n/2+1\). Ann. Math. (2) 136, 123–135 (1992)

Forstnerič, F.: Manifolds of holomorphic mappings from strongly pseudoconvex domains. Asian J. Math. 11, 113–126 (2007)

Forstnerič, F.: Stein Manifolds and Holomorphic Mappings (The Homotopy Principle in Complex Analysis). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, vol. 56. Springer, Berlin (2011)

Forstnerič, F.: Oka manifolds: from Oka to Stein and back. With an appendix by Finnur Lárusson. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 22, 747–809 (2013)

Forstnerič, F., Lárusson, F.: Survey of Oka theory. N. Y. J. Math. 17a, 1–28 (2011)

Forstnerič, F., Wold, E.F.: Bordered Riemann surfaces in \({\mathbb{C}}^2\). J. Math. Pures Appl. 91, 100–114 (2009)

Forstnerič, F., Wold, E.F.: Embeddings of infinitely connected planar domains into \({\mathbb{C}}^2\). Anal. PDE 6, 499–514 (2013)

Garsia, A.M.: An imbedding of closed Riemann surfaces in Euclidean space. Comment. Math. Helv. 35, 93–110 (1961)

Greene, R.E., Wu, H.: Embedding of open Riemannian manifolds by harmonic functions. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 25, 215–235 (1975)

Gromov, M.: Oka’s principle for holomorphic sections of elliptic bundles. J. Am. Math. Soc. 2, 851–897 (1989)

Hörmander, L.: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, vol. 7, 3rd edn. North-Holland Mathematical Library, North Holland (1990)

Lárusson, F.: What is\(\ldots \) an Oka manifold? Not. Am. Math. Soc. 57, 50–52 (2010)

López, F.J., Ros, A.: On embedded complete minimal surfaces of genus zero. J. Differ. Geom. 33, 293–300 (1991)

III Meeks, W.H., Pérez, J.: A Survey on Classical Minimal Surface Theory. University Lecture Series, 60. American Mathematical Society, Providence (2012)

Meeks III, W.H., Pérez, J.: The classical theory of minimal surfaces. Bull. Am. Math. Soc. (N.S.) 48, 325–407 (2011)

Narasimhan, R.: Imbedding of open Riemann surfaces. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys. Kl. II 1960, 159–165 (1960)

Narasimhan, R.: Imbedding of holomorphically complete complex spaces. Am. J. Math. 82, 917–934 (1960)

Nash, J.: The imbedding problem for Riemannian manifolds. Ann. Math. (2) 63, 20–63 (1956)

Osserman, R.: A Survey of Minimal Surfaces, 2nd edn. Dover, New York (1986)

Remmert, R.: Sur les espaces analytiques holomorphiquement séparables et holomorphiquement convexes. C. R. Acad. Sci. Paris 243, 118–121 (1956)

Rüedy, R.A.: Embeddings of open Riemann surfaces. Comment. Math. Helv. 46, 214–225 (1971)

Schürmann, J.: Embeddings of Stein spaces into affine spaces of minimal dimension. Math. Ann. 307, 381–399 (1997)

Whitney, H.: Collected papers. Edited and with a preface by James Eells and Domingo Toledo. Contemporary Mathematicians. Birkhäuser Boston Inc, Boston (1992)

Thông tin
Thông tin xuất bản

Mathematische Zeitschrift

Tập 283

1-24

Thông tin tác giả