Stochastic là gì? Các nghiên cứu khoa học về Stochastic

Khái niệm về stochastic

Stochastic mô tả các hiện tượng, mô hình hoặc quá trình có sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên, khiến kết quả đầu ra không thể xác định hoàn toàn mà chỉ có thể mô tả bằng xác suất. Khái niệm này được sử dụng trong toán học, vật lý, sinh học, tài chính, khoa học dữ liệu và trí tuệ nhân tạo. Một hệ thống được gọi là stochastic khi hành vi của nó chịu tác động của biến ngẫu nhiên hoặc nhiễu, và do đó đòi hỏi cách mô tả dựa trên quy luật phân phối hơn là quan hệ cố định.

Trong khoa học hiện đại, cách tiếp cận stochastic được dùng để mô hình hóa những hệ thống phức tạp mà các yếu tố tác động không thể kiểm soát hoàn toàn. Điều này bao gồm dao động gene trong sinh học, nhiễu tín hiệu trong vật lý, giá tài sản trong thị trường tài chính, hoặc quá trình học của AI khi dữ liệu có độ biến thiên tự nhiên. Khái niệm stochastic cũng là nền tảng của nhiều thuật toán mô phỏng và phân tích dữ liệu.

Bảng dưới đây so sánh hệ deterministic (xác định) và hệ stochastic (ngẫu nhiên):

Thuộc tính	Deterministic	Stochastic
Đầu ra	Cố định	Phụ thuộc xác suất
Mô tả	Hàm số rõ ràng	Biến ngẫu nhiên
Nhiễu	Không có	Luôn tồn tại
Dự đoán	Chính xác	Xấp xỉ theo phân phối

Nền tảng toán học của stochastic

Nền tảng toán học của stochastic dựa trên lý thuyết xác suất, không gian mẫu, phân phối xác suất và biến ngẫu nhiên. Một biến ngẫu nhiên được mô tả bằng phân phối thể hiện khả năng xảy ra của từng kết quả. Phân phối có thể là rời rạc hoặc liên tục, tùy thuộc bản chất của hiện tượng. Đây là cơ sở để xây dựng các mô hình mô phỏng hoặc dự đoán hành vi của hệ thống ngẫu nhiên.

Không gian xác suất gồm ba thành phần: không gian mẫu, sigma-algebra và độ đo xác suất. Những thành phần này cho phép mô tả chính xác các sự kiện và mối quan hệ giữa chúng. Các hàm kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai được sử dụng để định lượng mức độ bất định và mối liên hệ giữa các biến ngẫu nhiên. Các khái niệm này là nền móng cho mọi quá trình stochastic.

Các mô hình trong toán học sử dụng nền tảng stochastic bao gồm:

• Biến ngẫu nhiên và vector ngẫu nhiên
• Phân phối chuẩn, Poisson, exponential
• Kỳ vọng, moment và entropy
• Không gian Hilbert và quá trình Gaussian

Chi tiết hơn về cơ sở toán học của stochastic có thể xem tại ScienceDirect.

Quá trình stochastic

Quá trình stochastic là tập hợp các biến ngẫu nhiên được sắp xếp theo thời gian để mô tả sự tiến hóa của một hệ thống dưới tác động của yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi thời điểm tương ứng một phân phối, và toàn bộ quá trình mô tả sự chuyển động của hệ thống trong không gian xác suất. Đây là công cụ quan trọng trong mô hình hóa hiện tượng vật lý, sinh học, kinh tế và tín hiệu.

Ví dụ kinh điển của quá trình stochastic là chuyển động Brown, nơi hạt vật chất chuyển động ngẫu nhiên do va chạm phân tử. Quá trình Markov mô tả hệ thống có trạng thái thay đổi nhưng không phụ thuộc quá khứ xa mà chỉ phụ thuộc trạng thái hiện tại. Quá trình Poisson dùng để mô tả sự kiện đến rời rạc như số cuộc gọi, số khách hàng hoặc số đột biến gene.

Bảng dưới đây mô tả một số quá trình stochastic phổ biến:

Quá trình	Đặc điểm	Ứng dụng
Markov	Không nhớ quá khứ	Dự đoán trạng thái hệ thống
Poisson	Sự kiện rời rạc	Mô hình hóa số lượng sự kiện
Wiener/Brownian	Liên tục, nhiễu trắng	Vật lý, tài chính, mô phỏng

Stochastic trong thống kê và mô hình hóa dữ liệu

Trong thống kê, stochastic thể hiện sự hiện diện của yếu tố ngẫu nhiên trong quan sát, mô hình hoặc quy trình suy luận. Khi dữ liệu bị nhiễu hoặc có sự biến thiên tự nhiên, các mô hình thống kê cần mô tả phân phối của dữ liệu thay vì giá trị cố định. Đây là cách tiếp cận phổ biến trong nghiên cứu khoa học thực nghiệm, nơi dữ liệu thường không hoàn toàn chính xác.

Các mô hình chuỗi thời gian, hồi quy xác suất và mô phỏng Monte Carlo đều dựa vào nguyên lý stochastic. Mô hình ARIMA mô tả các tín hiệu có nhiễu bằng cách kết hợp xu hướng, tính mùa vụ và thành phần ngẫu nhiên. Monte Carlo mô phỏng hàng nghìn hoặc hàng triệu mẫu ngẫu nhiên để đánh giá phân phối của một đại lượng, giúp dự đoán rủi ro hoặc tối ưu hóa các quyết định phức tạp.

Dưới đây là các công cụ stochastic phổ biến trong thống kê dữ liệu:

• Mô hình ARIMA và ARMA
• Hàm mật độ xác suất và phân phối hậu nghiệm
• Mô phỏng Monte Carlo
• Thuật toán MCMC (Markov Chain Monte Carlo)

Stochastic trong trí tuệ nhân tạo và học máy

Trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo và học máy, stochastic được sử dụng để mô tả các thuật toán hoặc mô hình có yếu tố ngẫu nhiên trong quá trình tối ưu hoặc sinh dữ liệu. Một trong các ví dụ điển hình nhất là Stochastic Gradient Descent (SGD), nơi mô hình được cập nhật bằng cách sử dụng một phần nhỏ dữ liệu tại mỗi bước nhằm tránh mắc kẹt ở cực trị cục bộ. Điều này giúp quá trình học diễn ra nhanh hơn và tăng khả năng tổng quát hóa cho mô hình.

Các mô hình xác suất trong học máy như Bayesian networks, Gaussian processes hoặc Hidden Markov Models cũng là các hệ thống stochastic mô tả dữ liệu bằng phân phối. Dưới sự ngẫu nhiên trong cấu trúc và tham số, các mô hình này cho phép máy học xử lý sự không chắc chắn có trong dữ liệu thật. Phương pháp này đặc biệt quan trọng trong các lĩnh vực có nhiễu cao và biến thiên lớn.

Nhiều mô hình sinh tạo hiện đại dựa trên tính chất stochastic, chẳng hạn như Generative Adversarial Networks (GAN), variational autoencoders (VAE) hoặc diffusion models. Các mô hình này học phân phối tiềm ẩn của dữ liệu và sinh ra mẫu mới thông qua thao tác ngẫu nhiên trong không gian xác suất. Những tiến bộ này được thảo luận rộng rãi trong các ấn phẩm thuộc Nature Machine Learning.

Ứng dụng stochastic trong tài chính

Trong tài chính định lượng, stochastic đóng vai trò then chốt trong mô hình hóa biến động giá và phân tích rủi ro. Giá tài sản trên thị trường chịu tác động của nhiều yếu tố ngẫu nhiên như tâm lý nhà đầu tư, biến động vĩ mô, tin tức hoặc thanh khoản. Do đó, các mô hình xác định đơn thuần không thể phản ánh hành vi thực tế của thị trường.

Mô hình Black Scholes sử dụng chuyển động Brown để mô tả sự biến động của giá cổ phiếu và tính giá quyền chọn. Ngoài ra, các mô hình stochastic volatility như Heston model mô tả độ biến động như một quá trình ngẫu nhiên riêng biệt, cho phép mô hình phù hợp hơn với dữ liệu thực nghiệm. Trong quản trị rủi ro, mô phỏng Monte Carlo được sử dụng để đánh giá phân phối lợi nhuận dự kiến và đo lường khả năng thua lỗ trong điều kiện thị trường dao động mạnh.

Dưới đây là bảng mô tả một số mô hình stochastic trong tài chính:

Mô hình	Đặc điểm	Ứng dụng
Black Scholes	Dựa trên chuyển động Brown	Định giá quyền chọn
Heston	Độ biến động là quá trình ngẫu nhiên	Mô phỏng chuỗi giá
Jump diffusion	Thêm bước nhảy Poisson	Mô tả biến động mạnh

Stochastic trong vật lý và khoa học tự nhiên

Trong vật lý, stochastic được dùng để mô tả các quá trình có sự nhiễu hoặc tác động ngẫu nhiên từ môi trường. Chuyển động Brown là ví dụ kinh điển, phản ánh sự va chạm ngẫu nhiên giữa phân tử dung môi và các hạt lơ lửng. Phương trình Langevin, một phương trình vi phân ngẫu nhiên, mô tả hệ động lực học chịu tác động của lực cản và nhiễu nhiệt. Những mô hình này tạo nền tảng cho cơ học thống kê và mô phỏng vật lý ở quy mô vi mô.

Trong hóa học và sinh học, stochastic xuất hiện dưới dạng dao động trong tốc độ phản ứng, biến động gene, hoặc thay đổi ngẫu nhiên trong quần thể sinh vật. Quá trình Poisson được dùng để mô tả sự kiện hiếm như đột biến gene, trong khi stochastic kinetics được dùng để mô tả hệ phản ứng khi số lượng phân tử thấp khiến nhiễu trở nên quan trọng. Những mô hình này giúp giải thích tại sao các hệ sinh học không hoàn toàn đồng nhất và có thể có hành vi dao động mà không cần tác động phía ngoài.

Dưới đây là danh sách các hiện tượng tự nhiên có tính stochastic:

• Dao động trong biểu hiện gene ở tế bào đơn.
• Nhiễu nhiệt trong hệ vật lý vi mô.
• Phân rã phóng xạ và sự kiện lượng tử ngẫu nhiên.
• Khoảng thời gian giữa các sự kiện sinh học hiếm.

Các kỹ thuật tính toán trong stochastic

Các kỹ thuật tính toán đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán mà phương pháp xác định không thể xử lý hiệu quả. Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE) được sử dụng để mô phỏng chuyển động Brown, khuếch tán và biến động giá thị trường. Các mô hình này cung cấp mô phỏng định lượng chi tiết cho các hệ thống có nhiễu.

Mô phỏng Monte Carlo là một trong những kỹ thuật được dùng rộng rãi nhất. Nó cho phép tạo ra hàng nghìn hoặc hàng triệu kịch bản ngẫu nhiên để ước lượng phân phối kết quả. Đây là công cụ mạnh mẽ trong tối ưu, mô phỏng vật lý, phân tích rủi ro và thiết kế thí nghiệm. Thuật toán MCMC (Markov Chain Monte Carlo) sử dụng chuỗi Markov để lấy mẫu từ phân phối phức tạp mà không thể lấy mẫu trực tiếp.

Bảng tóm tắt một số phương pháp tính toán trong stochastic:

Phương pháp	Mục đích	Ứng dụng
Monte Carlo	Mô phỏng phân phối ngẫu nhiên	Tài chính, vật lý, thống kê
MCMC	Lấy mẫu từ phân phối phức tạp	Suy luận Bayes
SDE	Mô hình hóa quá trình động ngẫu nhiên	Vật lý, sinh học, tài chính

Thách thức và hạn chế của mô hình stochastic

Mặc dù mạnh mẽ, mô hình stochastic gặp phải các hạn chế như yêu cầu dữ liệu lớn để ước tính phân phối chính xác. Việc lựa chọn sai phân phối hoặc bỏ qua yếu tố nhiễu có thể dẫn đến kết luận sai lệch. Ngoài ra, các mô hình này đôi khi yêu cầu chi phí tính toán cao, đặc biệt là khi dùng Monte Carlo hoặc MCMC với số lượng mẫu lớn.

Một thách thức khác là khả năng giải thích. Do tính chất ngẫu nhiên, nhiều mô hình stochastic khó giải thích về mặt trực quan và khó chuyển thành quyết định cụ thể trong các lĩnh vực cần mô hình đơn giản. Hơn nữa, việc hiệu chỉnh tham số cho mô hình ngẫu nhiên thường phức tạp và cần kinh nghiệm chuyên môn sâu.

Dưới đây là các khó khăn thường gặp:

• Nhu cầu dữ liệu lớn và chất lượng tốt.
• Chi phí tính toán cao khi mô phỏng nhiều mẫu.
• Khó giải thích và truyền đạt trong bối cảnh ứng dụng.
• Độ nhạy cao với giả định sai về phân phối.

Tài liệu tham khảo

• Gardiner C. Stochastic Methods. Springer.
• Ross S. Introduction to Probability Models. Academic Press.
• Shreve S. Stochastic Calculus for Finance. Springer.
• Bishop C. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
• Kloeden P. Stochastic Differential Equations. Cambridge University Press.