Semivariogram là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan

Khái niệm Semivariogram

Semivariogram mô tả mức độ thay đổi của một đại lượng ngẫu nhiên theo khoảng cách trong không gian địa lý. Đây là nền tảng của địa thống kê và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như thủy văn, thăm dò khoáng sản, khí tượng, địa môi trường và nông nghiệp chính xác. Khi quan sát hai điểm trong không gian, mức giống nhau của chúng thường suy giảm dần khi khoảng cách tăng. Semivariogram diễn đạt sự suy giảm này bằng một hàm mô tả sự biến thiên trung bình có điều kiện theo độ dài vector khoảng cách. Cách tiếp cận này cho phép nhà phân tích nhìn thấy cấu trúc phụ thuộc không gian mà dữ liệu thô khó thể hiện đầy đủ.

Trong nhiều loại dữ liệu không gian, giá trị đo tại các vị trí gần nhau thường có tương quan dương. Điều này phản ánh tính liên tục của các hiện tượng tự nhiên như nhiệt độ, độ ẩm đất hoặc nồng độ khoáng chất trong lớp trầm tích. Semivariogram cho phép mô tả định lượng mức tương quan đó bằng cách khảo sát sự khác biệt bình phương trung bình giữa các cặp điểm theo nhiều khoảng cách khác nhau. Khi vẽ semivariogram thực nghiệm, người phân tích thường quan sát đường cong có xu hướng tăng từ gốc tọa độ rồi tiến dần đến giới hạn ổn định.

Bảng dưới đây tóm tắt một số dạng biến thiên không gian thường gặp và ý nghĩa của chúng đối với hình dạng semivariogram:

Kiểu biến thiên	Đặc điểm	Ảnh hưởng đến semivariogram
Liên tục mạnh	Các điểm gần nhau rất giống nhau	Gia tăng nhẹ ở khoảng cách ngắn
Dị hướng	Cường độ tương quan thay đổi theo hướng	Semivariogram khác nhau theo từng hướng phân tích
Nhiễu đo	Biến động nhỏ nhưng không tránh khỏi	Nugget dương đáng kể

Cấu trúc toán học của Semivariogram

Công thức cơ bản của semivariogram dựa trên sự khác biệt giữa giá trị của biến ngẫu nhiên tại hai vị trí cách nhau một vector khoảng cách h. Công thức thường được dùng là:

$\gamma(h) = \frac{1}{2} \operatorname{Var}[Z(x) - Z(x+h)]$

Hàm này đại diện cho mức biến thiên trung bình có điều kiện. Khi khoảng cách bằng 0, giá trị lý tưởng sẽ bằng 0 nếu dữ liệu không có nhiễu đo. Khi khoảng cách đủ lớn, giá trị semivariogram tiến đến một giới hạn ổn định cho thấy sự mất tương quan về mặt không gian. Đây là cơ sở để người phân tích mô phỏng bề mặt giá trị hoặc nội suy các điểm chưa đo bằng những phương pháp như Kriging.

Để tính semivariogram thực nghiệm, người phân tích thường chọn một số khoảng cách chia đều, sau đó gom cặp điểm theo từng khoảng cách đó. Với mỗi khoảng cách, người tính trung bình các chênh lệch bình phương để thu được giá trị đại diện. Quy trình phổ biến:

• Chọn số lớp khoảng cách và độ rộng mỗi lớp.
• Tính chênh lệch giữa tất cả các cặp điểm thỏa thuộc cùng một lớp.
• Lấy trung bình để tạo một điểm trên đồ thị semivariogram thực nghiệm.

Các tham số cơ bản

Semivariogram gồm ba tham số quan trọng giúp mô tả đầy đủ cấu trúc không gian của dữ liệu. Ba tham số này xuất hiện trong hầu hết các mô hình thực nghiệm lẫn lý thuyết và đóng vai trò chính trong việc lựa chọn mô hình phù hợp. Khi hiểu rõ từng tham số, nhà phân tích sẽ dễ dự đoán tính chất của hiện tượng được nghiên cứu và điều chỉnh mô hình sao cho sai số tối thiểu.

Nugget thể hiện mức biến thiên không giải thích được ở khoảng cách rất nhỏ, thường do nhiễu đo hoặc do các hiện tượng địa lý quá nhỏ không thể quan sát. Sill là giá trị mà semivariogram hướng đến khi khoảng cách tăng dần. Range là giới hạn mà tại đó dữ liệu mất tương quan không gian. Ba tham số này thường được trích xuất bằng cách khớp mô hình lý thuyết vào semivariogram thực nghiệm.

Một bảng mô tả nhanh ba tham số:

Tham số	Mô tả	Tác động
Nugget	Biến thiên ở khoảng cách sát nhau	Ảnh hưởng đến độ mịn bề mặt nội suy
Sill	Giới hạn của semivariogram	Chi phối mức mất tương quan
Range	Khoảng cách mất tương quan	Quy định phạm vi ảnh hưởng của điểm đo

Các mô hình Semivariogram phổ biến

Khi đã có semivariogram thực nghiệm, người phân tích cần lựa chọn mô hình lý thuyết phù hợp để mô tả cấu trúc không gian. Những mô hình phổ biến gồm hình cầu, hàm mũ và Gauss. Mỗi mô hình có đặc điểm riêng và phù hợp với loại dữ liệu khác nhau. Việc lựa chọn mô hình không dựa vào cảm tính mà cần dựa trên cả trực quan đồ thị, tính chất vật lý của hiện tượng và các tiêu chí thống kê.

Mô hình hình cầu có tốc độ tăng nhanh lúc đầu và tiến dần đến sill theo dạng đoạn thẳng cong. Mô hình hàm mũ thì tăng nhanh nhưng không bao giờ đạt sill tuyệt đối. Mô hình Gauss tạo đường cong mượt và rất thích hợp với các hiện tượng tự nhiên có biến thiên liên tục mạnh. Một danh sách ngắn mô tả ưu điểm:

• Hình cầu: phù hợp với dữ liệu có mức biến thiên trung bình rõ rệt.
• Hàm mũ: ứng dụng rộng, linh hoạt với nhiều dạng dữ liệu.
• Gauss: tốt cho các hiện tượng rất mượt và liên tục.

Bảng tóm tắt sự khác biệt chính:

Mô hình	Dạng cong	Ứng dụng
Hình cầu	Tăng nhanh rồi ổn định	Khoáng sản, địa chất công trình
Hàm mũ	Tăng nhanh, tiệm cận sill	Khí tượng và địa môi trường
Gauss	Mượt, tăng chậm lúc đầu	Dữ liệu liên tục mạnh như nhiệt độ

Ý nghĩa trong phân tích không gian

Semivariogram giữ vai trò trung tâm trong phân tích không gian vì nó cho phép nhận biết cấu trúc phụ thuộc vào khoảng cách của dữ liệu. Khi quan sát semivariogram thực nghiệm, người phân tích có thể xác định mức độ liên tục, sự tồn tại của nhiễu đo và cả biến thiên theo hướng. Điều này đặc biệt quan trọng trong các nghiên cứu môi trường, tài nguyên nước và nông nghiệp vì hầu hết hiện tượng tự nhiên không phân bố ngẫu nhiên mà có mẫu hình theo không gian. Khi semivariogram tăng chậm và đạt sill muộn, hiện tượng tương quan mạnh và trải rộng. Khi semivariogram tăng nhanh và đạt sill sớm, tương quan ngắn và phạm vi ảnh hưởng nhỏ hơn.

Những thông tin này giúp định hướng cách thu thập dữ liệu, lập kế hoạch lấy mẫu và tối ưu chi phí đo. Với dữ liệu đã thu, semivariogram được dùng để xác định xem mô hình nội suy có phù hợp với thực tế hay không. Các ngành như thăm dò địa chất, tối ưu hóa nông nghiệp hoặc phân tích chất lượng không khí đều xem đây như công cụ chuẩn hóa khi làm việc với dữ liệu không gian.

Bảng sau minh họa một số đặc điểm của dữ liệu và ý nghĩa quan sát từ semivariogram:

Đặc điểm dữ liệu	Dấu hiệu trên semivariogram	Ý nghĩa
Tương quan mạnh	Đường cong tăng chậm	Hiện tượng lan tỏa đều và ổn định
Dị hướng	Các semivariogram theo hướng khác nhau không trùng	Cần mô hình dị hướng để nội suy chính xác
Nhiễu đo lớn	Nugget cao	Giảm độ tin cậy của bề mặt nội suy

Ứng dụng trong Kriging

Kriging là một trong các phương pháp nội suy địa thống kê mạnh nhất hiện nay và hoạt động dựa trên mô hình semivariogram. Khi nội suy một vị trí chưa đo, kriging sử dụng ma trận tương quan được suy ra từ mô hình semivariogram để xác định trọng số tối ưu cho các điểm lân cận. Điều này khiến kết quả nội suy không chỉ là trung bình đơn giản mà phản ánh đậm nét cấu trúc không gian thực tế. Vùng có tương quan mạnh sẽ ảnh hưởng nhiều hơn đến điểm nội suy và ngược lại.

Quy trình thực hiện kriging dựa trên mô hình semivariogram gồm các bước: xây dựng semivariogram thực nghiệm, chọn mô hình lý thuyết, ước lượng tham số bằng tối ưu hóa và tính toán trọng số. Từng bước đều phụ thuộc vào độ chính xác của mô hình semivariogram. Nếu mô hình không phản ánh đúng cấu trúc dữ liệu, kết quả nội suy sẽ sai lệch đáng kể. Các lĩnh vực như thủy văn, tài nguyên khoáng sản hoặc lập bản đồ ô nhiễm không khí đều dùng kriging làm công cụ chuẩn vì tính ổn định và minh bạch trong cấu trúc toán học.

Bảng sau cho thấy những kiểu kriging phổ biến và vai trò của semivariogram:

Loại kriging	Đặc điểm	Vai trò của semivariogram
Ordinary kriging	Giả định trung bình không đổi trong vùng	Xác định trọng số dựa trên tương quan
Universal kriging	Xét thêm xu thế dài hạn	Tách phần xu thế khỏi phần không gian
Indicator kriging	Dùng khi dữ liệu không phân bố chuẩn	Mô hình hóa cấu trúc biến thiên nhị phân

Quy trình xây dựng Semivariogram thực nghiệm

Quá trình xây dựng semivariogram thực nghiệm bắt đầu bằng việc tạo các cặp điểm theo từng khoảng cách. Người phân tích xác định khoảng cách tối đa cần khảo sát và chia thành nhiều lớp. Số lượng lớp phụ thuộc vào số điểm và độ phân giải mong muốn. Với mỗi lớp, người phân tích tính giá trị trung bình của chênh lệch bình phương giữa các điểm nằm cách nhau trong phạm vi lớp đó. Kết quả là một tập hợp các điểm biểu diễn semivariogram thực nghiệm.

Khi số điểm dữ liệu lớn, việc tính toán có thể rất nặng nên cần tối ưu bằng cách giảm số lớp hoặc chọn mẫu ngẫu nhiên một phần cặp điểm. Sau khi có semivariogram thực nghiệm, người phân tích tiến hành khớp mô hình lý thuyết. Tiêu chí khớp phổ biến là tối thiểu hóa tổng bình phương sai số giữa các điểm thực nghiệm và đường cong lý thuyết. Các thuật toán tối ưu hóa như Levenberg Marquardt thường được sử dụng.

Danh sách các yếu tố cần lưu ý khi xây dựng semivariogram thực nghiệm:

• Đảm bảo số lượng cặp điểm trong mỗi lớp đủ lớn để đại diện dữ liệu.
• Kiểm tra dị hướng và tính toán semivariogram theo nhiều hướng.
• Loại bỏ điểm ngoại lai làm méo semivariogram.
• Chọn độ rộng lớp phù hợp để tránh nhiễu.

Kiểm định và đánh giá mô hình

Sau khi khớp mô hình lý thuyết, bước quan trọng tiếp theo là kiểm định. Cross validation là phương pháp chuẩn để đánh giá chất lượng mô hình. Mỗi điểm dữ liệu được lần lượt bỏ ra khỏi tập và nội suy bằng mô hình hiện tại. Sai số giữa giá trị thực và giá trị nội suy được dùng để tính các chỉ số như RMSE, MAE hoặc ME. Mô hình semivariogram tốt sẽ cho sai số nhỏ và phần dư phân bố đều không có xu hướng.

Ngoài cross validation, người phân tích còn xem xét hình dạng semivariogram thực nghiệm và độ mượt của mô hình lý thuyết. Một mô hình tốt sẽ khớp hợp lý với đường cong thực nghiệm mà không quá phức tạp. Khi mô hình quá phức tạp, khả năng khái quát giảm và dễ dẫn đến quá khớp. Bảng sau so sánh các tiêu chí kiểm định thường gặp:

Tiêu chí	Ý nghĩa	Đánh giá
RMSE	Sai số bình phương trung bình	Càng nhỏ càng tốt
ME	Sai số trung bình	Gần 0 là lý tưởng
Phần dư	Khả năng phân bố ngẫu nhiên	Không được có xu hướng rõ rệt

Thách thức và xu hướng nghiên cứu

Mặc dù semivariogram là công cụ mạnh, vẫn tồn tại nhiều thách thức như dị hướng phức tạp, phân bố điểm không đều và nhiễu đo cao. Khi dữ liệu phân bố dày ở một vùng nhưng thưa ở vùng khác, semivariogram có thể bị lệch do thiếu cặp điểm đại diện ở khoảng cách lớn. Ngoài ra, các hiện tượng có tính động theo thời gian làm semivariogram thay đổi liên tục, buộc phải dùng mô hình không gian thời gian.

Nghiên cứu gần đây tập trung vào semivariogram phi tuyến, mô hình bán tham số hoặc kết hợp học máy. Các thuật toán như Gaussian Process cải tiến, Random Forest không gian hoặc mô hình lai giữa kriging và deep learning đều đang được thử nghiệm. Nhờ đó, các mô hình mới có thể mô tả hiện tượng phức tạp hơn mà semivariogram truyền thống khó xử lý.

Danh sách xu hướng mới:

• Semivariogram động theo thời gian.
• Mô hình hóa dị hướng phi tuyến.
• Kết hợp semivariogram với học sâu.
• Tự động hóa lựa chọn mô hình bằng thuật toán tối ưu.

Tài liệu tham khảo

• Cressie, N. (1993). Statistics for Spatial Data. Wiley.
• Wackernagel, H. (2003). Multivariate Geostatistics. Springer.
• Journel, A. G., & Huijbregts, C. (1978). Mining Geostatistics. Academic Press.
• USGS. Geostatistics Resources. https://www.usgs.gov/
• ScienceDirect. Spatial Statistics Collection. https://www.sciencedirect.com/
• GMD Journal. Examples of geostatistical modeling. https://gmd.copernicus.org/