Journal of Geometry

In this paper there are studied mozions σ / σo in the isotropic plane. Given a C2 — curve k in the moving frame σ we find the enveloped curve ko in the fixed frame σo and consider the correspondance between the isotropic curvatures A and Ao of k and ko. Than we investigate third-order properties of the pointpaths.

In this work, we consider four one-parameter families of spheres which do not belong to the same bundle with the additional condition that three of these families of spheres cut the “sphere”z=0 belonging to the fourth family in a hexagonal three-web formed by the three families of curves defined by the equationsx 2 +y 2=u 1, x=u 2, y=u 3 x. Then, we determine these families of spheres in such a way that they form a hexagonal surface 4-web.

We show that every point in the plane which can be constructed by a compass and a ruler, given a setS of points, can be constructed using a compass alone so that the following restriction is met. LetO andK be two arbitrarily chosen distinct points ofS. Then every point is obtained as a proper intersection of two circles that are either completely symmetrical with respect to the lineOK or have both their centers on this line.

We classify all finite linear spaces without three mutually parallel lines. Apart from two exceptions, such a space is necessarily a generalized projective plane, a simple extension of a generalized projective plane, or a complete inflated affine plane with a generalized projective plane at infinity.

In this paper we consider cyclic surfaces in an isotropic space of degree two, i.e. a three dimensional real affine space with the metric ds2=dx2. The local differential geometry of the first and second order of there surfaces is developed. An invariant moving frame is constructed by means of which some interesting questions of the extensive theory are solved.

Một hệ đại số thoả mãn mọi điều kiện của một skewfield nhưng chỉ một (ví dụ: bên trái) và không nhất thiết phải cả hai luật phân phối thì được gọi là gần trường. Sự tồn tại của các gần trường đúng (không phải skewfield) lần đầu tiên được L. E. Dickson lưu ý. Trong bài báo trình bày [3], T.Y. Lam đã phát triển cấu trúc của gần trường đúng nhỏ nhất, nhóm nhân của nó là một nhóm quaternion có bậc 8. Bằng cách chuyển giao phép cộng của gần trường sang Q8 ∪ {0} = {0, ±1, ±i, ±j, ±k}, ông đã tạo ra mối liên hệ với quaternion của Hamilton. Điểm khởi đầu của bài báo này là sự nhận thức rằng phép cộng này trong Q8∪{0} có thể được mô tả theo cách tự nhiên bằng các phép đồng dư theo modulo một quaternion nguyên tố trong thứ tự Hurwitz $${\mathcal{O}}$$ của các quaternion nguyên. Đầu tiên, chúng tôi xem xét các gần trường F và nghiên cứu các thuộc tính của vành con R của End(F, +) được tạo ra bởi tất cả các phép nhân bên trái $$\lambda_{a} : x \mapsto ax (x \in F; a \in F*)$$ . Kết quả chính là trong trường hợp chiều hữu hạn, R = End(F, KF); lưu ý rằng $$K_{F} = \{k \in F | \forall x,y \in F: (x + y)k = xk + yk\}$$ là một subskewfield của F và (F,KF) là một không gian vector bên phải. Sau đó, để F là một gần trường có chiều 2 trên K F = $${\mathbb{F_{P}}}$$ . Theo một định lý của A. Hurwitz, End(F, KF) hoặc vành của tất cả các ma trận (2,2) trên $${\mathbb{F}}_{P}$$ là isomorphic với $$\mathcal{O} /p \mathcal{O}$$ . Điều này cho phép chúng tôi hiện thực hóa mọi gần trường đúng với p2 phần tử bằng cách sử dụng các phép đồng dư trong $$\mathcal{O}$$ giống như trong ví dụ giới thiệu với p = 3.

The five circles in the classical Pentagon theorem of Miquel are given as circumcircles of five certain triangles in the pentagon. If one chooses instead the circumcircles of five other triangles, one gets a different configuration of circles. This resulting configuration of circles carries three families of five concyclic quadruples of points. Together with the five circumcircles this gives a total of 20 circles. The radical axes of each two of these twenty circles are all concurrent.

For a convex 3-polytope P let pk (P) denote the number of its k-gonal faces. A sequence (pk(P)¦k≥3) associated with P in a natural way is said to be the face-vector of P. A sequence p = (pk¦k≥3) of non-negative integers is said to be 5-realizable provided that there exists a 5-valent 3-polytope P such that pk (P) = pk for all k≥3. In the present paper a new necessary condition as well as a few new sufficient conditions are obtained for 5-realizability of sequences p.