Zur Theorie der linearen Gleichungen

Eine eingehendere Untersuchung der Gleichungssysteme (1) wird man in einer in Vorbereitung begriffenen Schrift finden, in der auch eine geometrische Anwendung besprochen wird. So verhält es sich im Bespiel\(\begin{array}{*{20}c} {2\alpha _{11} = 2\alpha _{22} = e_2 + ie_3 ,} \\ {2\alpha _{21} = 2\alpha _{12} = e_2 + ie_2 .} \\ \end{array} \) Eine solche Zusammenfassung ist gelegentlich auch sonst schon vorgenommen worden. Hierzu kommt noch, dass die entwickelte Theorie fast unverändert unter Umständen angewendet werden kann, in denen eine Äquivalenz der zu betrachtenden Grössenquadrupel mit zweireihigen Matrices überhaupt nicht vorhanden ist. Vgl. § 6. Vgl. Math. Enc. Bd I, 1, S. 182. Französische Ausgabe I, 1, S. 435. Siehe weiterhin S. 36. Die Gleichungen (12) lassen noch erkennen, dass die Produkte\(\Phi _{ik}^s = \Theta _{ks}^s ,\Psi _{ik}^s = H_{si}^k \) für die Matrix (A ik ) eine ganz ähnliche Bedeutung haben, wie für die Matrix (a ik ) die Produkte\(\vartheta _{ks}^i = \alpha _{ki} \tilde \alpha _{si} ,\eta _{si}^k = \tilde \alpha _{ks} \alpha _{ki} ,\) von denen wir die ersten zur Beschreibung des Bildungsgesetzes der ▽-Funktion benutzt hatten. — Natürlich würde sich das Bildungsgesetz der ▽-Funktion auch mit Hülfe der Produkteη k si haben beschreiben lassen.— Vgl. hierzuHilbert, Math. Ann. Bd 32 (1888), S. 342, Acta Mathematica, Bd 17 (1893) S. 169. Archiv f. Math. (3), Bd 1 (1901), S. 224, und Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., 1909) Kap. VII, § 38. Th. Molien, Math. Ann. Bd 41 (1893), S. 113. Vgl. etwaMolien, a. a. O., S. 110. Übrigens gibt es auch noch anders geartete Fälle, in denen eine weitere Reduktion möglich ist. Vgl. § 7. Jacobi's Ges. Werke, Bd IV, S. 25 u. ff. Neuere Darstellungen beiKowalewski, Determinanten, Leipzig 1909, Kap. 9, undE. v. Weber, Pfaff'sches Problem, Leipzig 1900, Kap. I. Vgl. auchF. Engel inGrassmann's Werken I, 2, S. 474 u. ff., Leipzig 1896. Vonn=8 an kommen noch weitere Entwickelungen nach Art derLaplace'schen Determinantenformeln hinzu, z. B.\(P = \frac{I}{3}\{ (I234)(5678) = | \cdots \} .\)