Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Quỹ đạo Willmore cho các hành động Lie cách tân
Tóm tắt
Trong công trình này, chúng tôi nghiên cứu các bán đa tạp Willmore trong một đa tạp Riemann đóng và liên thông, là những quỹ đạo của sự hành động đồng điệu của một nhóm Lie kết nối hữu hạn. Chúng tôi gọi chúng là các bán đa tạp Willmore đồng nhất hay quỹ đạo Willmore. Tiêu chí cho những bán đa tạp Willmore đặc biệt này đơn giản hơn nhiều so với lý thuyết tổng quát, điều này yêu cầu một phương trình Euler-Lagrange phức tạp. Định lý chính của chúng tôi khẳng định rằng, khi phân tầng loại quỹ đạo cho sự hành động của nhóm thỏa mãn một số điều kiện nhất định, thì chúng tôi có thể tìm thấy một quỹ đạo Willmore trong mỗi tập hợp đã phân tầng. Một số ví dụ cổ điển quan trọng, như torus Willmore, bề mặt Veronese, v.v., có thể được hiểu như là các quỹ đạo Willmore và dễ dàng được xác minh bằng phương pháp của chúng tôi. Các định lý của chúng tôi cung cấp một số lượng lớn các ví dụ mới cho các bán đa tạp Willmore, cũng như các ước lượng cho số lượng của chúng, mà ở một số trường hợp cổ điển là sắc nét.
Từ khóa
#Bán đa tạp Willmore #Quỹ đạo Willmore #Nhóm Lie #Hành động đồng điệu #Phương trình Euler-Lagrange.Tài liệu tham khảo
Böhm, C.: Homogeneous Einstein metrics and simplicial complexes. J. Differ. Geom. 67, 79–165 (2004)
Chen, B.Y.: Some conformal invariants of submanifolds and their applications. Boll. Un. Mat. Ital. 10, 380–385 (1974)
Chern, S.S., do Carmo, M., Kobayashi, S.: Minimal submanifolds of a sphere with second fundamental form of constant length, Functional Analysis and Related Fields, pp. 59–75. Springer, New York (1970)
Guo, Z., Li, H., Wang, C.P.: The second variantion formula for Willmore submanifolds in \(S^n\). Results Math. 40, 205–225 (2001)
Heber, J.: Noncompact homogeneous Einstein spaces. Invent. Math. 133, 279–352 (1998)
Hsiang, W.Y., Lawson, H.B.: Minimal submanifolds of low cohomogeneity. J. Differ. Geom. 5, 1–38 (1971)
Hu, Z., Li, H.: Willmore submanifolds in a Riemannian manifold. In: Proceedings of the Workshop Contemporary Geometry and Related Topics, pp. 251–275. World Scientific, Singapore
Kobayashi, O.: A Willmore type problem for \(S^2\times S^2\), Differential geometry and differential equations (Shanghai, 1985), pp. 67–72. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1255. Springer, Berlin (1987)
Lawson, H.B.: Local rigidity theorems for minimal hypersurfaces. Ann. Math. 89(2), 187–197 (1989)
Li, H.: Willmore hypersurfaces in a sphere. Asian J. Math. 5, 365–378 (2001)
Li, H.: Willmore submanifolds in a sphere. Math. Res. Lett. 9, 771–790 (2002)
Li, H., Wei, G.: Classification of Lagrangian Willmore submanifolds of the nearly Kaehler 6-sphere \(S^6(1)\) with constant scalar curvature. Glasgow Math. J. 48, 53–64 (2006)
Li, P., Yau, S.T.: A new conformal invariant and its applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces. Invent. Math. 69, 269–291 (1982)
Marques, F.C., Neves, A.: Min–max theory and the Willmore conjecture. Ann. Math. 179(2), 683–782 (2014)
Montgomery, D., Yang, C.T.: The existence of a slice. Ann. Math. 65(2), 459–469 (1957)
Montiel, S., Ros, A.: Minimal immersions of surfaces by the first eigenfunctions and conformal area. Invent. Math. 86, 153–166 (1986)
Pedit, F.J., Willmore, T.J.: Conformal geometry. Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 36, 237–245 (1988)
Pinkall, U.: Inequalities of Willmore type for submanifolds. Math. Z. 193, 241–246 (1986)
Qian, C., Tang, Z., Yan, W.: New examples of Willmore submanifolds in the unit sphere via isoparametric functions, II. Ann. Global Anal. Geom. 43, 47–62 (2013)
Ros, A.: The Willmore conjecture in the real projective space. Math. Res. Lett. 6, 487–493 (1999)
Wang, C.P.: Moebius geometry of submanifolds in \(S^n\). Manuscr. Math. 96, 517–534 (1998)
Wang, M.Y., Ziller, W.: Existence and non-existence of homogeneous Einstein metrics. Invent. Math. 84, 177–194 (1986)
Willmore, T.J.: Notes on embedded surfaces. An. Sti. Univ. 11A1. I. Cuza” Iasi Sect. I a Mat. (N. S.) 11B, 493–496 (1965)
Willmore, T.J.: Total Curvature in Riemannian Geometry. Ellis Horwood Limited, London (1982)
Xie, Y.: Willmore submanifolds in the unit sphere via isoparametric functions. Acta Math. Sin. Engl. Ser. 31(12), 1963–1969 (2015)