Une méthode d'approximation mixte des équations des fluides non newtoniens de troisième grade

L'objet de cet article consiste en une approximation d'une variante des équations de mouvement stationnaire d'un fluide incompressible de troisième grade, en dimension 2: $$\begin{gathered} - v\Delta u + rot(u - \alpha _1 \Delta u) \wedge u - (\alpha _1 + \alpha _2 )(A\Delta u + 2 div(\nabla u\nabla u^T )) \hfill \\ - \beta div(|A|^2 A) + \nabla p + \varepsilon \Delta ^2 u = f, \hfill \\ divu = 0, \hfill \\ \end{gathered}$$ qui sont une généralisation des équations de Navier-Stokes. Dans une première partie, on donne une caractérisation fondamentale de l'espaceV [Hm(Ω)]n , oùV={υ∈[D(Ω)] n ], div υ=0}. On étudie ensuite, dans une seconde partie, une approximation mixte du problème linéaire associé: $$\begin{gathered} - v\Delta u + \varepsilon \Delta ^2 u + \nabla p = f, \hfill \\ div u = 0. \hfill \\ \end{gathered}$$ Les résultats obtenus sont utilisés dans la dernière partie consacrée à une méthode d'approximation mixte de notre problème. La méthode de Taylor-Hood nous permet enfin d'obtenir des applications aux éléments finis de degré 2.