Sur les fonctions hypersphériques et surl’expression de la fonction hypergéométrique par une dérivée généralisée

P. Appell: «Les polynomesV m, n d’Hermite et leurs analogues rattachés aux potentiels àq variables» (Rend. Circ. Math. di Palermo, t. XXXVI, 1913, p. 203–212).

En général on a: $$R^{(\lambda )} \left[ {\frac{{du}}{{dx}}} \right] = R^{(\lambda - 1)} u - \frac{{x^{\lambda - 1} }}{{\Gamma (\lambda )}}u(o) = \frac{d}{{dx}}[R^{(\lambda )} u] - \frac{{x^{\lambda - 1} }}{{\Gamma (\lambda )}}u(o)$$ ; mais ici, l’interversion des symboles $$R^{(\lambda )} et\frac{d}{{dx}}$$ est légitime parce queu(o)=o.-

Il résulte aussi de ces propriétés, qu’an point singulierx=1 (sommet de l’étoile) l’ordre de(I−x) −β étant β, celui deF(α, β, γ, x) sera: α+β−γ. En effet, l’ordre def(x) étant $$\omega = I + \mathop {lim}\limits_{n = \infty } \frac{{\log a_n }}{{\log n}}$$ celui deR (λ) f(x) est: $$\omega ' = I + \mathop {lim}\limits_{n = \infty } \frac{{\log \frac{{\Gamma (\rho + n)}}{{\Gamma (\lambda + \rho + n)}}a_n }}{{\log n}} = \omega - \lambda$$