Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các hàm có thể đo được mạnh và các nhân của các hàm $$\mathcal {M}-$$ có thể tích phân
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu khả năng tích phân của các hàm có giá trị không gian Banach mà có thể đo được mạnh định nghĩa trên khoảnh [0, 1]. Trong trường hợp các hàm được cho bởi
$$f=\sum _{n=1}^{\infty }x_n \chi _{E_n}$$
trong đó
$$x_n\in X$$
và các tập hợp
$$E_n$$
là các tập con đo Lebesgue có thể phân tách và đôi một khác rỗng của [0, 1], có những đặc trưng well known về khả năng tích phân Bochner và McShane của f. Sự hội tụ tuyệt đối (hay chưa điều kiện) của
$$\sum _{n=1}^{\infty }x_n m(E_n)$$
tương đương với khả năng tích phân Bochner (hay McShane) của f. Chúng tôi đưa ra một số điều kiện cho khả năng tích phân McShane vô hướng và McShane yếu của f cũng như mối quan hệ của chúng với các toán tử hội tụ chưa điều kiện. Chúng tôi cũng nghiên cứu không gian của các nhân có giá trị vectơ của các hàm có thể tích phân mạnh McShane $$(\mathcal {SM})-$$. Chúng tôi chứng minh rằng nếu X là một đại số Banach giao hoán, với đơn vị e có chuẩn bằng một, thoả mãn tính chất Radon–Nikodym và
$$M: \mathcal {SM}\rightarrow \mathcal {SM}$$
là một toán tử tuyến tính bị chặn, thì tồn tại
$$g\in L^\infty ([0,1],X)$$
sao cho
$$M(f)= fg$$
cho mọi
$$f\in \mathcal {SM}$$
. Một số kết quả về các nhân của các hàm có thể tích phân McShane
$$({\mathcal {M}})-$$ cũng được đưa ra.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Bhatnagar, S.: The Radon Nikodym property and multipliers for the class of strongly \(\cal{HK}\)-integrable functions. Real Anal. Exch. 44(2), 1–11 (2019)
Bongiorno, B., Di Piazza, L., Musial, K.: Approximation of banach space valued non-absolutely integrable functions by step functions. Glasgow Math. J. 50, 583–593 (2008)
Di Piazza, L., Marraffa, V., Musial, K.: Variational Henstock integrability of banach space valued functions. Math. Bohem. 141(2), 287–296 (2016)
Diestel, J.: Sequences and series in banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York (1984)
Diestel, J., Uhl, J.J.: Vector measures. In: American Mathematical Society. Surveys and Monographs, vol. 15 (1977)
Gordon, R.A.: The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock. In: Graduate Studies in Mathematics, vol. 4. American Mathematical Society (1994)
Guoju, Y., Schwabik, S.: The McShane and weak McShane integrals of Banach space valued functions defined on \({\mathbf{R}}^m\). Math. Notes 2, 127–136 (2001)
Marraffa, V.: A characterization of strongly measurable Kurzweil–Henstock integrable functions and weakly continuous operators. J. Math. Anal. Appl. 340(2), 1171–1179 (2008)
Musial, K.: Topics in the theory of Pettis integration. Rend. Inst. Math. Univ. Trieste 23, 177–262 (1991)
Rudin, W.: Real and complex analysis, 3rd edn. Tata McGraw Hill, New Delhi (2006)
Schwabik, S., Guoju, Y.: Topics in Banach space integration series in real analysis, vol. 10. World Scientific, Singapore (2005)
Singh, S.P., Bhatnagar, S.: On vector valued multipliers for the class of strongly \(\cal{HK}\)-integrable functions. Tatra Mt. Math. Publ. 68, 69–79 (2017)
Talagrand, M.: Pettis integral and measure theory. Mem. Am. Math. Soc. 307 (1984)