Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Trạng Thái Đứng yên cho Phương Trình Schrödinger Phi Tuyến Tính với Tiềm Năng Định Kỳ
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi xem xét một phương trình Schrödinger phi tuyến tính một chiều với một tiềm năng định kỳ. Trong giới hạn bán cổ điển, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của các giải pháp đứng yên thông qua việc giảm phương trình Schrödinger phi tuyến tính về một phương trình Schrödinger phi tuyến tính rời rạc. Cụ thể, trong giới hạn độ phi tuyến tính lớn, các giải pháp đứng yên hóa ra được định vị tại một điểm lưới đơn lẻ của tiềm năng định kỳ. Một mối liên hệ của các kết quả này với pha cách điện Mott cho các ngưng tụ Bose–Einstein trong một lưới định kỳ một chiều cũng được thảo luận.
Từ khóa
#Phương trình Schrödinger phi tuyến tính #tồn tại giải pháp #tiềm năng định kỳ #ngưng tụ Bose–Einstein #cách điện MottTài liệu tham khảo
Aftalion, A., Helffer, B.: On mathematical models for Bose–Einstein condensates in optical lattices. Rev. Math. Phys. 21, 229–278 (2009)
Alfimov, G.L., Brazhnyi, V.A., Konotop, V.V.: On classification of intrinsic localized modes for the discrete nonlinear Schrödinger equation. Phys. D 194, 127–150 (2004)
Aschbacher, W.H., Fröhlich, J., Graf, G.M., Schnee, K., Troyer, M.: Symmetry breaking regime in the nonlinear Hartree equation. J. Math. Phys. 43, 3879–3891 (2002)
Berezin, F.A., Shubin, M.A.: The Schrödinger equation. Kluwer, Dordrecht (1991)
Bloch, I.: Ultracold quantum gases in optical lattices. Nat. Phys. 1, 23–30 (2005)
Brezis, H.: Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. Masson, Paris (1983)
Buchler, H.P., Micheli, A., Zoller, P.: Three-body interactions with cold polar molecules. Nat. Phys. 3, 726 (2007)
Carlsson, U.: An infinite number of wells in the semi-classical limit. Asymptot. Anal. 3, 189–214 (1990)
Cazenave, T., Weissler, F.B.: The Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equation in \(H^1\). Manuscripta Math. 61, 477–494 (1988)
Cornish, S.L., Claussen, N.R., Roberts, J.L., Cornell, E.A., Wieman, C.E.: Stable \({}^{85}\)Rb Bose-Einstein condensates with widely tunable interactions. Phys. Rev. Lett. 85, 1795 (2000)
Cuevas, J., Kevrekidis, P.G., Frantzeskakis, D.J., Malomed, B.A.: Discrete solitons in nonlinear Schrödinger lattices with a power-law nonlinearity. Phys. D 238, 67–76 (2009)
Fukuizumi, R., Sacchetti, A.: Bifurcation and stability for Nonlinear Schrödinger equations with double well potential in the semiclassical limit. J. Stat. Phys. 145, 1546–1594 (2011)
Gammal, A., Frederico, T., Tomio, L.: Critical number of atoms for attractive Bose–Einstein condensates with cylindrically symmetrical traps. Phys. Rev. A 64, 055602 (2001)
Grecchi, V., Martinez, A., Sacchetti, A.: Destruction of the beating effect for a nonlinear Schrodinger equation. Commun. Math. Phys. 227, 191–209 (2002)
Greiner, M., Mandel, O., Esslinger, T., Hänsch, T.H., Bloch, I.: Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms. Nature 415, 39–44 (2002)
Helffer B., Semi-classical analysis for the Schrödinger operator and applications, Lecture Notes in Mathematics 1336. Springer-Verlag, Berlin (1988)
Ilan, B., Weinstein, M.I.: Band-edge solitons, nonlinear Schrödinger/Gross-Pitaevskii Equations. SIAM Multiscale Model. Simul. 8, 1055–1101 (2010)
Jaksch, D., Bruder, C., Cirac, J.I., Gardiner, C.W., Zoller, P.: Cold bosonic atoms in opetical lattices. Phys. Rev. Lett. 81, 2108–2111 (1998)
Kirr, E.W., Kevrekidis, P.G., Shlizerman, E., Weinstein, M.I.: Symmetry-breaking bifurcation in nonlinear Schrödinger/Gross-Pitaevskii equations. SIAM J. Math. Anal. 40, 566–604 (2008)
Outassourt, A.: Comportement semi-classique pour l’opérateur de Schrödinger à potentiel périodique. J. Funct. Anal. 72, 65–93 (1987)
Pankov, A.: Periodic nonlinear Schrödinger equation with application to photonic crystals. Milan J. Math. 73, 259–287 (2005)
Pankov, A.: Gap solitons in periodic discrete nonlinear Schrödinger equations. Nonlinearity 19, 27–40 (2006)
Pelinovsky, D.E., Kevrekidis, P.G., Frantzeskakis, D.J.: Stability of discrete solitons in nonlinear Schrödinger lattices. Phys. D 212, 1–19 (2005)
Pelinovsky D.E., Localization in periodic potentials; from Schrödinger operators to the Gross-Pitaevskii equation, Londom Mathematical Society, Lecture Note Series 390. Cambridge University Press, Cambridge (2011)
Pelinovsky, D.E., Schneider, G., MacKay, R.: Justification of the lattice equation for a nonlinear elliptic problem with a periodic potential. Commun. Math. Phys. 284, 803–831 (2008)
Pelinovsky, D.E., Schneider, G.: Bounds on the tight-binding approximation for the Gross-Pitaevskii equation with a periodic potential. J. Differ. Equat. 248, 837–849 (2010)
Pitaevskii, L., Stringari, S.: Bose–Einstein condensation. Claredon Press, Oxford (2003)
Qin, W.X., Xiao, X.: Homoclinic orbits and localized solutions in nonlinear Schrödinger lattices. Nonlinearity 20, 2305–2317 (2007)
Roberts, J.L., et al.: Controlled collapse of a Bose–Einstein condensate. Phys. Rev. Lett. 86, 4211 (2001)
Sacchetti, A.: Nonlinear double well Schrödinger equations in the semiclassical limit. J. Stat. Phys. 119, 1347–1382 (2005)
Teschl, G., et al.: Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices. American Mathematical Society, Providence (2000)
Weinstein, M.I.: Excitation thresholds for nonlinear localized modes on lattice. Nonlinearity 12, 673–691 (1999)