Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Quang phổ và kết quả phân nhánh toàn cầu cho bài toán bậc hai phi tuyến trên toàn bộ $${\mathbb {R}}$$
Tóm tắt
Chúng tôi điều tra bài toán bậc hai sau đây
$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} -u''(t) +a(t)u(t)=\lambda b(t)f(u(t)), \ \ \ \ t\in {\mathbb {R}}, \qquad \qquad \qquad \qquad (P) \\ \underset{|t|\rightarrow \infty }{\lim }u(t)=0, \end{array} \right. \end{aligned}$$
với
$$\lambda >0$$
là một tham số,
$$a \in C({\mathbb {R}}, (0,\infty )),~b\in C({\mathbb {R}}, [0,\infty ))$$
sao cho
$$\underset{|t|\rightarrow \infty }{\lim }\frac{b(t)}{a(t)} = 0, ~f:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}$$
là một hàm liên tục với
$$sf(s)> 0$$
với
$$s\ne 0$$
. Đối với trường hợp tuyến tính, tức là,
$$f(u)=u$$
, chúng tôi điều tra sự tồn tại của giá trị riêng chính của (P). Đối với trường hợp phi tuyến, tùy thuộc vào hành vi của f gần 0 và
$$\infty$$
, chúng tôi nhận được hành vi tiệm cận và sự tồn tại của các nghiệm đồng hình của (P). Chứng minh các kết quả chính của chúng tôi dựa trên kỹ thuật phân nhánh.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Afrouzi, G.A.: On the continuity of principal eigenvalues for boundary value problems with indefinite weight function with respect to radius of balls in ${\mathbb{R} }^n$. Int. J. Math. Math. Sci. 29(5), 279–283 (2002)
Bonheure, D., Torres, P.J.: Bounded and homoclinic-like solutions of a second-order singular differential equation. Bull. Lond. Math. Soc. 44(1), 47–54 (2012)
Brown, K.J., Cosner, C., Fleckinger, J.: Principal eigenvalues for problems with indefinite weight function on ${\mathbb{R} }^n$. Proc. Am. Math. Soc. 109(1), 147–155 (1990)
Brown, K.J., Lin, S.S.: On the existence of positive eigenfunctions for an eigenvalue problem with indefinite weight function. J. Math. Anal. Appl. 75, 112–120 (1980)
Brown, K.J., Stavrakakis, N.M.: Sub and supersolutions for semilinear elliptic equations on all of ${\mathbb{R} }^n$. Differ. Integr. Equ. 7(5), 1215–1226 (1994)
Brown, K.J., Stavrakakis, N.M.: On the construction of super and subsolutions for elliptic equations on all of ${\mathbb{R} }^n$. Nonlinear Anal. 32(1), 87–95 (1998)
Corduneanu, C.: Integral Equations and Stability of Feedback Systems. Mathematics in Science and Engineering, vol. 104. Academic Press, New York, London (1973)
Dai, G., Yao, J., Li, F.: Spectrum and bifurcation for semilinear elliptic problems in ${\mathbb{R} }^n$. J. Differ. Equ. 263, 5939–5967 (2017)
Dancer, E.N.: On the structure of solutions of non-linear eigenvalue problems. Indiana Univ. Math. J. 23, 1069–1076 (1974)
Deimling, K.: Nonlinear Functional Analysis. Springer, New York (1985)
Edelson, A.L., Rumbos, A.J.: Linear and semilinear eigenvalue problems in ${\mathbb{R} }^n$. Commun. Partial Differ. Equ. 18(1–2), 215–240 (1993)
Ma, R., Gao, H., Chen, T.: Radial positive solutions for Neumann problems without growth restrictions. Complex Var. Elliptic Equ. 62, 848–861 (2017)
Ma, R., Xu, J., Han, X.: Global structure of positive solutions for superlinear second-order periodic boundary value problems. Appl. Math. Comput. 218, 5982–5988 (2012)
Minhós, F., Carrasco, H.: Existence of homoclinic solutions for nonlinear second-order problems. Mediterr. J. Math. 13, 3849–3861 (2016)
Motreanu, D., Motreanu, V., Papageorgiou, N.: Topological and Variational Methods with Applications to Nonlinear Boundary Value Problems. Springer, New York (2014)
Przeradzki, B.: The existence of bounded solutions for differential equations in Hilbert spaces. Ann. Polon. Math. 56(2), 103–121 (1992)
Rabinowitz, P.H.: Some global results for nonlinear eigenvalue problems. J. Funct. Anal. 7, 487–513 (1971)
Torres, P.J.: Guided waves in a multi-layered optical structure. Nonlinearity 19, 2103–2113 (2006)