Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Giải pháp Mượt của Định luật Bảo tồn Không đồng nhất Đa chiều: Công thức, và Tiêu chuẩn Tồn tại và Nổ
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi quan tâm đến điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại toàn cục của các giải pháp mượt của bài toán Cauchy cho định luật bảo tồn vô hướng đa chiều với hạng tử nguồn, trong đó dữ liệu ban đầu nằm trong không gian W1,∞(ℝn) ∩ C1(ℝn). Chúng tôi thu được công thức giải cho giải pháp mượt, và sau đó áp dụng nó để thiết lập và chứng minh điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại toàn cục của giải pháp mượt. Hơn nữa, nếu giải pháp mượt phát nổ tại một thời điểm hữu hạn, thời gian chính xác của sự tồn tại của giải pháp mượt có thể được xác định. Đặc biệt, khi hạng tử nguồn biến mất, định lý tương ứng cho trường hợp đồng nhất cũng được chứng minh. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra hai ví dụ làm ứng dụng, một cho sự tồn tại toàn cục của giải pháp mượt và ví dụ còn lại cho sự phát nổ của các giải pháp mượt tại bất kỳ thời điểm dương nhất định nào.
Từ khóa
#giải pháp mượt #định luật bảo tồn #bài toán Cauchy #hạng tử nguồn #tồn tại toàn cụcTài liệu tham khảo
Alinhac, S. Un phénomne de concentration évanescente pour des flots non-stationnaires incompressibles en dimension deux [Concentration cancellation for incompressible nonstationary flows in dimension two]. Comm. Math. Phys. 127(3): 585–596 (1990)(French)
Alinhac, S. Blowup of small data solutions for a class of quasilinear wave equations in two space dimensions. Annals of Mathematics, 1999, 149(1): 97–127
Alinhac, S. Blowup of small data solutions for a class of quasilinear wave equations in two space dimensions, ii. Acta Mathematica, 1999, 182(1): 1–23
Cao, G.W., Xiang, W., Yang, X.Z. Global structure of admissible solutions of multi-dimensional non-homogeneous scalar conservation law with Riemann-type data. J. diff. equ., 2017, 263(2): 1055–1078
Chang, T., Hsiao, L. The Riemann problem and interaction of waves in gas dynamics. NASA STI/Recon Technical Report A, 1989, 90: 44044
Chen, G., Chen, G.Q., Zhu, S.G. Formation of singularities and existence of global continuous solutions for the compressible Euler equations. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2021, 53(6): 6280–6325
Chen, G.Q., Li, D., Tan, D. Structure of Riemann solutions for 2-dimensional scalar conservation laws. Journal of differential equations, 1996, 127(1): 124–147
Chen, S.X., Xin, Z.P., Yin, H.C. Formation and construction of shock wave for quasilinear hyperbolic system and its application to inviscid compressible flow. The Institute of Mathematical Sciences at CUHK, 2010, Research Reports: 2000–10(069), 1999
Christodoulou, D. Global solutions of nonlinear hyperbolic equations for small initial data. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1986, 39(2): 267–282
Christodoulou, D. The formation of shocks in 3-dimensional fluids: Volume 2. Euro. Math. Soc., 2007
Christodoulou, D. The shock development problem. EMS Monographs in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2019
Christodoulou, D., Miao, S. Compressible flow and Euler’s equations. Surveys of Modern Mathematics, 9. International Press, Somerville, MA; Higher Education Press, Beijing, 2014
Conway, E., Smoller, J. Uniqueness and stability theorem for the generalized solution of the initial-value problem for a class of quasi-linear equations in several space variables. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1967, 23(5): 399–408
Holzegel, G., Klainerman, S., Speck, J., Wong, W.W. Small-data shock formation in solutions to 3D quasilinear wave equations: an overview. J. Hyperbolic Differential Equation. 13(1): 1C–105 (2016)
Hürmander, L. The lifespan of classical solutions of non-linear hyperbolic equations. Pseudo-Differential Operators, 1987: 214–280
John, F. Formation of singularities in one-dimensional nonlinear wave propagation. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1974, 27: 377–405
Kruzkov, S.N. First order quasilinear equations inseveral independent variables. Sbornik: Mathematics, 1970, 10(2): 217–243
Lax, P.D. Development of singularities of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations. Journal of Mathematical Physics, 1964, 5(5): 611–613
Li, T.T. Global classical solutions for quasilinear hyperbolic systems. Wiley, New York, 1994
Li, T.T., Zhou, Y., Kong, D.X. Weak linear degeneracy and global classical solutions for general quasilinear hyperbolic systems. Communications in Partial Differential Equations, 1994, 19(7–8): 1263–1317
Liu, T.P. Development of singularities in the nonlinear waves for quasi-linear hyperbolic partial differential equations. Journal of Differential Equations, 1979, 33(1): 92–111
Liu, T.P. Nonlinear resonance for quasilinear hyperbolic equation. Journal of mathematical physics, 1987, 28(11): 2593–2602
Luk, J., Speck, J. Shock formation in solutions to the 2d compressible Euler equations in the presence of non-zero vorticity. Inventiones Mathematicae, 2018, 214(1): 1–169
Luk, J., Speck, J. The hidden null structure of the compressible Euler equations and a prelude to applications. J. Hyperbolic Differential Equation, 17(1): 1–60 (2020)
Miao, S., Yu, P. On the formation of shocks for quasilinear wave equations. Inventiones Mathematicae, 2017, 207(2): 697–831
Shi, B., Wang, W. Existence and blow up of solutions to the 2D burgers equation with supercritical dissipation. Discrete and Continuous Dynamical Systems-B, 2020, 25(3): 1169–1192
Tsuji, M., Li, T.T. Globally classical solutions for nonlinear equations of first order. Communications in partial differential equations, 10(12): 1451–1463 (1985)
Vol’pert, A. The space BV and quasilinear equations. Maths. USSR Sbornik, 2: 225–267 (1967)
Yang, X.Z. Multi-Dimensional Riemann problem of scalar conservation law. Acta Mathematica Scientia, 1990, 19(2): 190–200
Yang, X.Z., Zhang, T. Global smooth solution of multi-dimensional non-homogeneous conservation laws. Progress in Natural Science, 2004, 14(10): 855–862
Yang, T., Zhu, C.J., Zhao, H.J. Global smooth solutions for a class of quasilinear hyperbolic systems with dissipative terms. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics, 1997, 127(6): 1311–1324
Yin, H.C. Formation and construction of a shock wave for 3-d compressible Euler equations with the spherical initial data. Nagoya Mathematical Journal, 2004, 175: 125–164
Yin, H.C., Zhu, L. The shock formation and optimal regularities of the resulting shock curves for 1d scalar conservation laws. Nonlinearity, 2022, 35(2): 954–997
Yin, H.C., Zhu, L. Formation and construction of a multidimensional shock wave for the firstorder hyperbolic conservation law with smooth initial data. SIAM J. Mathematical Analysis, 2022, 54(2): 2587–2610
Zhu, C.J., Zhao, H.J. Existence, uniqueness and stability of solutions for a class of quasilinear wave equations. Chinese Journal of Contemporary Mathematics, 1997, 18(2): 171–184