Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Chứng minh sự phân cấp động trong phương trình kết tụ của Smoluchowski với nhân hằng số
Tóm tắt
Phương trình kết tụ của Smoluchowski cho sự kết hợp không hồi phục với nhân hằng số được xem xét trong phiên bản rời rạc, trong đó c_t = c_1(t) là nồng độ của các cụm hạt l ở thời điểm t. Chúng tôi chứng minh rằng đối với dữ liệu ban đầu thỏa mãn c_1(0) > 0 và điều kiện 0 ⩽ c_l(0) < A (1 + Δ)^{-l} (A Δ > 0), các nghiệm hành xử tiệm cận như c_1(t) ∼ t^{-2} ≈ c(l t^{-1}) khi t → ∞ với l t^{-1} được giữ cố định. Hàm tỷ lệ ≈c(ξ) là (1/ρ)ξ, trong đó $$\rho = \sum _l l c_l (0)$$, một đại lượng bảo tồn, là số lượng hạt ban đầu trên một đơn vị thể tích. Một kết quả tương tự được đạt được cho phiên bản liên tục của phương trình kết tụ của Smoluchowski $$\frac{\partial }{{\partial t}}c(v,{\text{ }}t) = \int_0^v {du{\text{ }}c(v - u,{\text{ }}t){\text{ }}c(u,{\text{ }}t) - 2c(v,{\text{ }}t)} \int_0^\infty {du{\text{ }}c(u,{\text{ }}t)}$$ trong đó c(v, t) là nồng độ của các cụm có kích thước v.
Từ khóa
#phương trình kết tụ #Smoluchowski #nhân hằng số #phân cấp động #nồng độ cụmTài liệu tham khảo
K. Binder, Theory for the dynamics of “clusters.” II. Critical diffusion in binary systems and the kinetics of phase separation,Phys. Rev. B 15:4425–4447 (1977).
J.D. Gunton, M. San Miguel, and Paramdeep S. Sahni, The dynamics of first-order phase transitions, inPhase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 8, D. Domb and J.L. Lebowitz, eds., (Academic Press, London, 1983).
M. von Smoluchowski, Drei Vorträge über Diffusion, Brownsche Bewegung und Koagulation von Kolloidteilchen.Z. Phys. 17:557–585 (1916).
M. von Smoluchowski, Versuch ciner mathematischen Theorie der Koagulationskinetik kolloider Lösungen.Z. Phys. Chem. 92:129–168 (1917).
M. H. Ernst, Exact solutions of the nonlinear Boltzmann equation and related kinetic equations, inNonequilibrium Phenomena I, The Boltzmann Equation, J. L. Lebowitz and E.W. Montroll, eds. (North-Holland, Amsterdam, 1983), pp. 51–119.
R. L. Drake, A general mathematical survey of the coagulation equation, inTopics in current Aerosol Research, Vol. 3, Part 2, G.M. Hidy and J.R. Brock, eds. (Pergamon Press, Oxford, 1972), pp. 201–376.
J. M. Ball and J. Carr, The discrete coagulation-fragmentation equations: Existence, uniqueness, and density conservation,J. Stat. Phys,61:203–234 (1990).
P.C. Hohenberg and B.I. Halperin, Theory of dynamic critical phenomena,Rev. Mod. Phys. 49:435–479 (1977).
P. G. J. van Dongen and M. H. Ernst, Dynamical scaling in the kinetics of clustering,Phys. Rev. Lett. 54:1396–1399 (1985).
T. Viscek and F. Family, Dynamic scaling for aggregation of clusters,Phys. Rev. Lett. 52:1669–1672 (1984).
S. K. Friedlander and C. S. Wang, The self-preserving particle size distribution for coagulation by Brownian motion.J. Colloid Interface Sci. 22:126–132 (1966).
B. J. Olivier, C. M. Sorensen, and T. W. Taylor, Scaling dynamics of aerosol coagulation,Phys. Rev. A 45:5614–5623 (1992).
T. E. W. Schuhmann, Theoretical aspects of the size distribution of fog particles.Q. J. R. Meteorol. Soc. 66:195–207 (1940).
G. M. Hidy and D. K. Lily, Solutions to the equations for the kinetics of coagulation,J. Colloid Interface Sci. 20:867–874 (1965).
A. A. Lushnikov, Evolution of coagulation systems II,J. Colloid Interface Sci. 48:400–409 (1974).
P. G. J. van Dongen and M. H. Ernst, Scaling solutions of Smoluchowski's coagulation equation.J. Stat. Phys. 50:295–329 (1988).
W. H. White, A global existence theorem for Smoluchowski's coagulation equation,Proc. Am. Math. Soc. 80:273–276 (1980).
A. D. Myschkis,Angewandte Mathematik für Physiker und Ingenieure (Verlag Harri Deutsch. Thun, Frankfur/Main, Germany, 1981).
M. Aizenman and T. A. Bak, Convergence to equilibrium in a system of reacting polymers,Commun. Math. Phys. 65:203–230 (1979).
Z. A. Melzak, A scalar transport equation,Trans. Am. Math. Soc. 85:547–560 (1957).
I. W. Stewart, Density conservation for a coagulation equation,J. Appl. Math. Phys. (ZAMP) 42:746–756 (1991).
D. V. Widder,The Laplace transform (Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1946).
R. M. Ziff, M. H. Ernst, and E. M. Hendriks, Kinetics of glelation and universality,J. Phys. A: Math. Gen. 16, 2293–2320 (1983).
M. H. Ernst and E. M. Hendriks, Exctly soluble addition and condensation models in coagulation inetics,J. Colloid Interface Sci. 97:176–194 (1984).
F. da Costa, Private communication (1993).
I. M. Lifshitz and V. V. Slyozov, The kinetics of precipitation from supersaturated solid solutions,J. Phys. Chem. Solids 19:35–50 (1961).
O. Penrose, J. L. Lebowitz, J. Marro, M. H. Kalos, and A. Sur, Gorwth of clusters in a first-order phase transition,J. Stat. Phys. 19:243–267 (1978).
J. M. Ball, J. Carr, and O. Penrose, The Becker-Döring cluster equations: Basic properties and asymptotic behaviour of solutions,Commun. Math. Phys. 104:657–692 (1986).
J. Carr, Asymptotic behaviour of solution to the coagulation-fragmentation equations. I. The weak fragmentation case.Proc. R. Soc. Edinburgh 121(A):231–244 (1992).