Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phân Tích Sai Số Tiền Tiệm Cận của Phương Pháp HDG cho Phương Trình Helmholtz với Số Sóng Lớn
Tóm tắt
Bài báo này đề cập đến một số khía cạnh của phương pháp Galerkin không liên tục có thể kết hợp (HDG) cho phương trình Helmholtz với điều kiện biên cản trở ở tần số cao. Đầu tiên, các ước lượng sai số với sự phụ thuộc rõ ràng vào số sóng k cho các xấp xỉ HDG tới nghiệm chính xác u và gradient âm của nó $${\mathbf {q}}=-\nabla u$$ được đưa ra. Kết quả cho thấy rằng $${k\Vert u-u_h\Vert _{L^2(\varOmega )}+ \Vert {\mathbf {q}}-{\mathbf {q}}_h\Vert _{L^2(\varOmega )}=O(k^2h^2+k^4h^3)$$ dưới các điều kiện rằng $${k^3h^2}$$ là đủ nhỏ và tham số phạt $${\tau \eqsim k}$$, trong đó h là kích thước lưới. Lưu ý rằng cấp độ hội tụ trong $${\mathbf {q}}_h$$ là đầy đủ và sai số ô nhiễm là $${O(k^4h^3)}$$, điều này cải thiện các kết quả hiện có. Thứ hai, bằng cách sử dụng một quy trình xử lý hậu tiêu chuẩn từ phương pháp HDG cho các bài toán elliptic, một hàm đa thức bậc hai từng đoạn $${u_h^*}$$ được thu được sao cho $${k\Vert u-u_h^*\Vert _{L^2(\varOmega )}=O(k^3h^3+k^4h^3)}$$. Lưu ý rằng quy trình xử lý hậu chỉ cải thiện sai số nội suy (từ $${O(k^2h^2)}$$ lên $${O(k^3h^3)}$$) nhưng giữ nguyên sai số ô nhiễm $${O(k^4h^3)}$$. Thứ ba, phân tích độ phân tán và các thử nghiệm số rộng rãi cho thấy rằng hiệu ứng ô nhiễm có thể được giảm đáng kể trong trường hợp 2D bằng cách chọn các tham số phạt phù hợp.
Từ khóa
#phương pháp HDG #phương trình Helmholtz #sai số ô nhiễm #số sóng lớn #xử lý hậuTài liệu tham khảo
Ainsworth, M.: Discrete dispersion relation for \(hp\)-version finite element approximation at high wave number. SIAM J. Numer. Anal. 42(2), 553–575 (2004)
Amara, M., Djellouli, R., Farhat, C.: Convergence analysis of a discontinuous Galerkin method with plane waves and Lagrange multipliers for the solution of Helmholtz problems. SIAM J. Numer. Anal. 47(2), 1038–1066 (2009)
Arnaud, D., Babuška, I., Philippe, B.: Dispersion and pollution of the FEM solution for the helmholtz equation in one, two and three dimensions. Int. J. Numer. Meth. Eng. 46(4), 471–499 (1999)
Arnold, D.N., Brezzi, F., Cockburn, B., Donatella Marini, L.: Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems. SIAM J. Numer. Anal. 39(5), 1749–1779 (2002)
Babuvska, I., Sauter, S.: Is the pollution effect of the FEM avoidable for the Helmholtz equation considering high wave numbers? SIAM J. Numer. Anal. 42(3), 451–484 (2000)
Brenner, S., Scott, R.: The mathematical theory of finite element methods, vol. 15. Springer Science & Business Media (2007)
Brenner, S.C., Scott, L.R.: The mathematical theory of finite element methods, Texts in Applied Mathematics, vol. 15, third edn. Springer, New York (2008)
Cessenat, O., Despres, B.: Application of an ultra weak variational formulation of elliptic PDEs to the two-dimensional Helmholtz problem. SIAM J. Numer. Anal. 35(1), 255–299 (1998)
Chaumont-Frelet, T., Nicaise, S., Tomezyk, J.: Uniform a priori estimates for elliptic problems with impedance boundary conditions. Commun. Pure Appl. Anal. 19(5), 2445–2471 (2020)
Chen, H., Lu, P., Xu, X.: A Hybridizable Discontinuous Galerkin method for the Helmholtz equation with high wave number. SIAM J. Numer. Anal. 51, 2166–2188 (2013)
Chen, H., Lu, P., Xu, X.: A robust multilevel method for hybridizable discontinuous Galerkin method for the Helmholtz equation. J. Comp. Phys. 264, 133–151 (2014)
Chen, Z., Xiang, X.: A source transfer domain decomposition method for Helmholtz equations in unbounded domain. SIAM J. Numer. Anal. 51, 2331–2356 (2013)
Ciarlet, P.G.: The Finite Element Method for Elliptic Problems. SIAM (2002)
Cockburn, B., Gopalakrishnan, J., Lazarov, R.: Unified hybridization of discontinuous Galerkin mixed and continuous Galerkin methods for second order elliptic problems. SIAM J. Numer. Anal. 47, 1319–1365 (2009)
Cockburn, B., Gopalakrishnan, J., Sayas, F.: A projection-based error analysis of HDG methods. Math. Comp. 79, 1351–1367 (2010)
Cui, J., Zhang, W.: An analysis of HDG methods for the Helmholtz equation. IMA J. Numer. Anal. 34, 279–295 (2014)
Cummings, P., Feng, X.: Sharp regularity coefficient estimates for complex-valued acoustic and elastic Helmholtz equations. Math. Models Methods Appl. Sci. 16, 139–160 (2006)
Douglas, J., Jr., Santos, J., Sheen, D.: Approximation of scalar waves in the space-frequency domain. Math. Models Methods Appl. Sci. 4, 509–531 (1994)
Du, Y., Wu, H.: Preasymptotic error analysis of higher order FEM and CIP-FEM for Helmholtz equation with high wave number. SIAM J. Numer. Anal. 53, 782–804 (2014)
Du, Y., Wu, H.: A pure source transfer domain decomposition method for Helmholtz equations in unbounded domain. Journal of Scientific Computing, to appear (2020)
Engquist, B., Majda, A.: Radiation boundary conditions for acoustic and elastic wave calculations. Commun. Pure Appl. Math. 32(3), 313–357 (1979)
Engquist, B., Runborg, O.: Computational high frequency wave propagation. Acta Numer. 12, 181–266 (2003)
Feng, X., Wu, H.: Discontinuous Galerkin methods for the Helmholtz equation with large wave number. SIAM J. Numer. Anal. 47(4), 2872–2896 (2009)
Feng, X., Wu, H.: \(hp\)-discontinuous Galerkin methods for the Helmholtz equation with large wave number. Math. Comp. 80(276), 1997–2024 (2011)
Feng, X., Xing, Y.: Absolutely stable local discontinuous Galerkin methods for the Helmholtz equation with large wave number. Math. Comp. 82(283), 1269–1296 (2013)
Griesmaier, R., Monk, P.: Error analysis for a hybridizable discontinuous Galerkin method for the Helmholtz equation. J. Sci. Comput. 49(3), 291–310 (2011)
Hetmaniuk, U.: Stability estimates for a class of Helmholtz problems. Commun. Math. Sci. 5, 665–678 (2007)
Hiptmair, R., Moiola, A., Perugia, I.: Plane wave discontinuous Galerkin methods for the 2D Helmholtz equation: analysis of the \(p\)-version. SIAM J. Numer. Anal. 49(1), 264–284 (2011)
Ihlenburg, F.: Finite Element Analysis of Acoustic Scattering, Appl. Math. Sciences, vol. 132. Springer-Verlag, New York (1998)
Ihlenburg, F., Babuška, I.: Finite element solution of the Helmholtz equation with high wave number: I: the \(h\)-version of the FEM. Comput. Math. Appl. 30(9), 9–37 (1995)
Ihlenburg, F., Babuška, I.: Finite element solution of the Helmholtz equation with high wave number part II: the \(hp\) version of the FEM. SIAM J. Numer. Anal. 34(1), 315–358 (1997)
Kim, J., Sheen, D.: A priori estimates for elliptic boundary value problems with nonlinear boundary conditions. IMA preprint series 1304 (1995). Univ. Minnesota
Melenk, J.M.: On generalized finite-element methods. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI (1995). Thesis (Ph.D.)–University of Maryland, College Park
Melenk, J.M.: On generalized finite element methods. University of Marland, College Park (1995).. (phd thesis)
Melenk, J.M., Parsania, A., Sauter, S.: General DG-methods for highly indefinite Helmholtz problems. J. Sci. Comput. 57(3), 536–581 (2013)
Melenk, J.M., Sauter, S.: Convergence analysis for finite element discretizations of the Helmholtz equation with Dirichlet-to-Neumann boundary conditions. Math. Comp. 79(272), 1871–1914 (2010)
Melenk, J.M., Sauter, S.: Wavenumber explicit convergence analysis for Galerkin discretizations of the Helmholtz equation. SIAM J. Numer. Anal. 49(3), 1210–1243 (2011)
Monk, P., Wang, D.: A least-squares method for the Helmholtz equation. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 175(1–2), 121–136 (1999)
Shen, J., Wang, L.: Analysis of a spectral-Galerkin approximation to the Helmholtz equation in exterior domains. SIAM J. Numer. Anal. 45(5), 1954–1978 (2007)
Stenberg, R.: Postprocessing schemes for some mixed finite elements. ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 25(1), 151–167 (1991)
Thompson, L.L.: A review of finite-element methods for time-harmonic acoustics. J. Acoust. Soc. Am. 119(3), 1315–1330 (2006)
Wu, H.: Pre-asymptotic error analysis of CIP-FEM and FEM for the Helmholtz equation with high wave number: part I: linear version. IMA J. Numer. Anal. 34(3), 1266–1288 (2014)
Zhu, L., Burman, E., Wu, H.: Continuous interior penalty finite element method for Helmholtz equation with high wave number: one dimensional analysis. Numer. Methods Partial Differ. Equ. 32, (2012)
Zhu, L., Wu, H.: Preasymptotic error analysis of CIP-FEM and FEM for Helmholtz equation with high wave number: part II: \(hp\) version. SIAM J. Numer. Anal. 51(3), 1828–1852 (2013)