Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Mô hình trong Hệ Thống Số Cơ Sở Hệ Số Tỷ
Tóm tắt
Các hệ thống số với cơ sở là một số hữu tỷ a/b>1 đã thu hút được sự quan tâm trong những năm gần đây. Đặc biệt, mối quan hệ với vấn đề Mahler’s $\frac{3}{2}$ và vấn đề Josephus đã được thiết lập. Trong bài báo này, chúng tôi chỉ ra rằng các mẫu chữ số trong các biểu diễn của các số nguyên dương trong các hệ thống số như vậy được phân bố đồng đều. Chúng tôi nghiên cứu hàm tổng chữ số của các hệ thống số với cơ sở hữu tỷ a/b và sử dụng các biểu diễn liên quan đến cơ sở này để xây dựng các số chuẩn trong cơ sở a theo tinh thần của Champernowne. Thách thức chính trong các chứng minh của chúng tôi đến từ thực tế rằng ngôn ngữ của các biểu diễn số nguyên trong các hệ thống số này không phải là ngữ pháp tự do. Độ phức tạp của ngôn ngữ này khiến cho việc chứng minh các kết quả của chúng tôi trở nên không khả thi theo phương pháp cổ điển. Đặc biệt, chúng tôi sử dụng các ô tự động tỉ lệ được định nghĩa trong một số nhẫn con nhất định của nhẫn adèle $\mathbb{A}_{\mathbb{Q}}$ và phân tích Fourier trong $\mathbb{A}_{\mathbb{Q}}$. Với sự trợ giúp của những công cụ này, chúng tôi có thể cải tổ lại các kết quả của mình dưới dạng các bài toán ước lượng cho các tổng ký hiệu.
Từ khóa
#hệ thống số #cơ sở hữu tỷ #phân phối chữ số #hàm tổng chữ số #ngữ pháp tự do #số chuẩn #phân tích FourierTài liệu tham khảo
Allouche, J.-P., Deshouillers, J.-M., Kamae, T., Koyanagi, T.: Automata, algebraicity and distribution of sequences of powers. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 51(3), 687–705 (2001)
Akiyama, S., Frougny, C., Sakarovitch, J.: Powers of rationals modulo 1 and rational base number systems. Isr. J. Math. 168, 53–91 (2008)
Beck, T., Brunotte, H., Scheicher, K., Thuswaldner, J.M.: Number systems and tilings over Laurent series. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 147(1), 9–29 (2009)
Bassily, N.L., Kátai, I.: Distribution of the values of q-additive functions on polynomial sequences. Acta Math. Hung. 68(4), 353–361 (1995)
Berthé, V., Siegel, A., Steiner, W., Surer, P., Thuswaldner, J.M.: Fractal tiles associated with shift radix systems. Adv. Math. 226(1), 139–175 (2011)
Cassels, J.W.S.: Global fields. In: Cassels, J.W.S., Fröhlich, A. (eds.) Algebraic Number Theory, pp. 42–84. Academic Press, London (1967)
Champernowne, D.G.: The construction of decimals normal in the scale of ten. J. Lond. Math. Soc. 8, 254–260 (1933)
Delange, H.: Sur la fonction sommatoire de la fonction “somme des chiffres”. Enseign. Math. (2) 21(1), 31–47 (1975)
Dumont, J.M., Grabner, P.J., Thomas, A.: Distribution of the digits in the expansions of rational integers in algebraic bases. Acta Sci. Math. (Szeged) 65(3–4), 469–492 (1999)
Drmota, M., Mauduit, C., Rivat, J.: Primes with an average sum of digits. Compos. Math. 145(2), 271–292 (2009)
Drmota, M., Mauduit, C., Rivat, J.: The sum-of-digits function of polynomial sequences. J. Lond. Math. Soc. (2) 84(1), 81–102 (2011)
Gelfond, A.O.: Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives données. Acta Arith. 13 (1967/1968)
Hewitt, E., Ross, K.A.: Abstract Harmonic Analysis. Vol. I: Structure of Topological Groups. Integration Theory, Group Representations. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 115. Academic Press, New York (1963)
Hewitt, E., Ross, K.A.: Abstract Harmonic Analysis. Vol. II: Structure and Analysis for Compact Groups. Analysis on Locally Compact Abelian Groups. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 152. Springer, New York (1970)
Hutchinson, J.E.: Fractals and self-similarity. Indiana Univ. Math. J. 30(5), 713–747 (1981)
Madritsch, M.G.: Asymptotic normality of b-additive functions on polynomial sequences in number systems. Ramanujan J. 21(2), 181–210 (2010)
Mahler, K.: An unsolved problem on the powers of 3/2. J. Aust. Math. Soc. 8, 313–321 (1968)
Morgenbesser, J.F.: The sum of digits of squares in ℤ[i]. J. Number Theory 130(7), 1433–1469 (2010)
Madritsch, M.G., Pethő, A.: Asymptotic normality of additive functions on polynomial sequences in canonical number systems. J. Number Theory 131(9), 1553–1574 (2011)
Mauduit, C., Rivat, J.: La somme des chiffres des carrés. Acta Math. 203(1), 107–148 (2009)
Mauduit, C., Rivat, J.: Sur un problème de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers. Ann. Math. (2) 171(3), 1591–1646 (2010)
Pethő, A.: On a polynomial transformation and its application to the construction of a public key cryptosystem. In: Computational Number Theory, Debrecen, 1989, pp. 31–43. de Gruyter, Berlin (1991)
Rényi, A.: Representations for real numbers and their ergodic properties. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 8, 477–493 (1957)
Steiner, W., Thuswaldner, J.M.: Rational self-affine tiles. Preprint. arXiv:1203.0758v1
Tate, J.T.: Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta-functions. In: Cassels, J.W.S., Fröhlich, A. (eds.) Algebraic Number Theory, pp. 305–347. Academic Press, London (1967)
Weil, A.: Basic Number Theory, 2nd edn. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 144. Springer, Berlin (1973)