Định giá quyền chọn dưới quy trình VG bằng phương pháp DG

Institute of Mathematics, Czech Academy of Sciences - Tập 66 - Trang 857-886 - 2021
Jiří Hozman1, Tomáš Tichý2
1Department of Mathematics and Didactics of Mathematics, Technical University of Liberec, Faculty of Science, Humanities and Education, Liberec, Czech Republic
2Department of Finance, VSB-TU Ostrava, Faculty of Economics, Ostrava, Czech Republic

Tóm tắt

Bài báo trình bày một phương pháp Galerkin không liên tục để giải các phương trình vi phân tích hợp phần xuất hiện từ việc định giá quyền chọn Châu Âu cũng như quyền chọn Châu Mỹ khi tài sản cơ sở tuân theo quy trình gamma phương sai mũ. Để phục vụ cho việc giải quyết số học một cách thực tiễn, chúng tôi giới thiệu bài toán định giá quyền chọn đã được điều chỉnh, xuất phát từ việc định vị trong một miền hữu hạn và xấp xỉ các bước nhảy nhỏ. Chúng tôi thảo luận về các ước lượng sai số liên quan. Sau đó, chúng tôi áp dụng một quy trình số học mạnh mẽ dựa trên các xấp xỉ đa thức từng phần, thường không liên tục trong miền không gian. Kỹ thuật này cho phép xử lý đơn giản ràng buộc thực hiện sớm của quyền chọn Mỹ bằng cách bao gồm nó trực tiếp như một điều kiện nguồn phi tuyến bổ sung cho phương trình điều hành. Đặc biệt, chú trọng đến việc phân discret hóa chính xác các thành phần tích phân nhảy không địa phương, dựa trên việc tách các tích phân theo miền tùy thuộc vào kích thước của các bước nhảy. Hơn nữa, để duy trì độ phân giải thưa của các hệ phương trình đại số tuyến tính thu được, phương trình định giá được tích phân trong biến thời gian bằng một sơ đồ Euler nửa ngụy biện. Cuối cùng, kết quả số học cho thấy khả năng của sơ đồ số học được trình bày trong các tiêu chuẩn tham chiếu.

Từ khóa

#Quy trình gamma phương sai #Phương pháp Galerkin không liên tục #Định giá quyền chọn #Tích phân nhảy không địa phương #Quyền chọn Châu Mỹ

Tài liệu tham khảo

M. Abramowitz, I. A. Stegun (eds.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. U. S. Department of Commerce, Washington, 1964.

A. Almendral, C. W. Oosterlee: On American options under the variance gamma process. Appl. Math. Finance, 14 (2007), 131–152.

A. Bensoussan, J. L. Lions: Contrôle impulsionnel et inéquations quasi variationnelles. Gauthier-Villars, Paris, 1982. (In French.)

F. Black, M. Scholes: The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Econ., 81 (1973), 637–654.

N. Cantarutti, J. Guerra: Multinomial method for option pricing under variance gamma. Int. J. Comput. Math., 96 (2019), 1087–1106.

P. Carr, R. Jarrow, R. Myneni: Alternative characterizations of American put options. Math. Finance, 2 (1992), 87–106.

R. Cont, P. Tankov: Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall/CRC Financial Mathematics Series. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2004.

R. Cont, E. Voltchkova: A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and exponential Lévy models. SIAM J. Numer. Anal., 43 (2005), 1596–1626.

R. Cont, E. Voltchkova: Integro-differential equations for option prices in exponential Lévy models. Finance Stoch., 9 (2005), 299–325.

F. Delbaen, W. Schachermayer: A general version of the fundamental theorem of asset pricing. Math. Ann., 300 (1994), 463–520.

V. Dolejší, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method: Analysis and Applications to Compressible Flow. Springer Series in Computational Mathematics 48. Springer, Cham, 2015.

E. Eberlein: Jump-type Lévy processes. Handbook of Financial Time Series. Springer, Berlin, 2009, pp. 439–455.

L. Feng, V. Linetsky: Pricing options in jump-diffusion models: An extrapolation approach. Oper. Res., 56 (2008), 304–325.

M. C. Fu: Variance-gamma and Monte Carlo. Advances in Mathematical Finance. Applied and Numerical Harmonic Analysis. Birkhäuser, Boston, 2007, pp. 21–35.

E. G. Haug: The Complete Guide to Option Pricing Formulas. McGraw-Hill, New York, 2007.

F. Hecht: New development in freefem++. J. Numer. Math., 20 (2012), 251–265.

A. Hirsa, D. B. Madan: Pricing American options under variance gamma. J. Comput. Finance, 7 (2004), 63–80.

J. Hozman, T. Tichý: On the impact of various formulations of the boundary condition within numerical option valuation by DG method. Filomat, 30 (2016), 4253–4263.

J. Hozman, T. Tichý: DG framework for pricing European options under one-factor stochastic volatility models. J. Comput. Appl. Math., 344 (2018), 585–600.

J. Hozman, T. Tichý, M. Vlasäk: DG method for pricing European options under Merton jump-diffusion model. Appl. Math., Praha, 64 (2019), 501–530.

S. Ikonen, J. Toivanen: Operator splitting methods for American option pricing. Appl. Math. Lett., 17 (2004), 809–814.

A. Itkin: Pricing Derivatives Under Lévy Models: Modern Finite-Difference and Pseudo-Differential Operators Approach. Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications 12. Birkhäuser, Basel, 2017.

J. Jacod, A. N. Shiryaev: Limit Theorems for Stochastic Processes. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 288. Springer, Berlin, 1987.

S. Kozpinar, M. Uzunca, B. Karasözen: Pricing European and American options under Heston model using discontinuous Galerkin finite elements. Math. Comput. Simul., 177 (2020), 568–587.

A. Kufner, O. John, S. Fucík: Function Spaces. Monographs and Textbooks on Mechanics of Solids and Fluids. Mechanics: Analysis 3. Noordhoff International Publishing, Leyden, 1977.

Y. Kwon, Y. Lee: A second-order finite difference method for option pricing under jump-diffusion models. SIAM J. Numer. Anal., 49 (2011), 2598–2617.

D. B. Madan, P. P. Carr, E. C. Chang: The variance gamma process and option pricing. Eur. Finance Rev., 2 (1998), 79–105.

D. B. Madan, F. Milne: Option pricing with V. G. martingale components. Math. Finance, 1 (1991), 39–55.

D. B. Madan, E. Seneta: The variance gamma (V.G.) model for share market returns. J. Business, 63 (1990), 511–524.

A.-M. Matache, T. von Petersdorff, C. Schwab: Fast deterministic pricing of options on Lévy driven assets. M2AN, Math. Model. Numer. Anal., 38 (2004), 37–71.

R. C. Merton: Theory of rational option pricing. Bell J. Econ. Manage. Sci., 4 (1973), 141–183.

D. P. Nicholls, A. Sward: A discontinuous Galerkin method for pricing American options under the constant elasticity of variance model. Commun. Comput. Phys., 17 (2015), 761–778.

H. Y. Wong, J. Zhao: An artificial boundary method for American option pricing under the CEV model. SIAM J. Numer. Anal., 46 (2008), 2183–2209.

R. Zvan, P. A. Forsyth, K. R. Vetzal: Penalty methods for American options with stochastic volatility. J. Comput. Appl. Math., 91 (1998), 199–218.

Thông tin
Thông tin xuất bản

Institute of Mathematics, Czech Academy of Sciences

Tập 66

857-886

Thông tin tác giả