Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về thứ tự xấp xỉ của các phương pháp điểm cực trị cho các bài toán năng lượng tối thiểu siêu không gian
Tóm tắt
Giả sử Γ là một đường cong Jordan phân tích trong đĩa đơn vị. Chúng tôi xem xét vấn đề năng lượng tối thiểu hyperbolic, trong đó (Γ) biểu thị tập hợp tất cả các phân phối xác suất trên Γ. Có tồn tại một số phân rã điểm cực trị của μ*, trong số đó có những phân rã được giới thiệu bởi M. Tsuji (điểm Tsuji) hoặc bởi K. Menke (điểm Menke hyperbolic). Trong bài viết này, chúng tôi chứng minh rằng các điểm Menke hyperbolic tiếp cận hình ảnh của các căn bậc n dưới một ánh xạ phù hợp từ vào Ω với tốc độ hình học nhanh nếu số lượng điểm tiến tới vô hạn. Điều này xác lập một giả thuyết của K. Menke. Đặc biệt, các giới hạn rõ ràng cho lỗi xấp xỉ cũng được đưa ra. Cuối cùng, một phương pháp hiệu quả để xác định numerically μ* cung cấp một giới hạn lỗi thu nhỏ theo hình học được trình bày.
Từ khóa
#năng lượng tối thiểu siêu không gian #đường cong Jordan #phân phối xác suất #điểm Tsuji #điểm Menke hyperbolic #xấp xỉ lỗiTài liệu tham khảo
Ahlfors, L.V.: Conformal Invariants. McGraw-Hill, 1973
Andrievskii, V.V., Blatt, H.-P.: Discrepancy of Signed Measures and Polynomial Approximation. Springer-Verlag, 2002
Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., Musiol, G., Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 4th edition, 1999
Frank, P., von Mises, R.: Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik. Volume I. Vieweg, 2nd edition, 1961
Gaier, D.: Konstruktive Methoden der konformen Abbildung. Springer Verlag, 1964
Gill, P.E., Murray, W., Wright, M.H.: Practical Optimization. Academic Press, 1981
Günter, N.M.: Die Potentialtheorie und ihre Anwendung auf Grundaufgaben der mathematischen Physik. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1957
Koch, T., Liesen, J.: The conformal ‘bratwurst’ maps and associated Faber polynomials. Numerische Mathematik 86, 173–191 (2000)
Kühnau, R.: Geometrie der konformen Abbildung auf der hyperbolischen und der elliptischen Ebene. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1972
Kühnau, R.: Koeffizientenbedingungen für schlicht abbildende Laurentsche Reihen. Bull. Acad. Polon. Sciences, Sér. math., astr., phys. 20, 7–10 (1972)
Menke, K.: On the distribution of Tsuji points. Mathematische Zeitschrift 190, 439–446 (1985)
Menke, K.: Tsuji points and conformal mapping. Annales Polonici Mathematici XLVI, 183–187 (1985)
Menke, K.: Distortion theorems for functions schlicht in an annulus. Journal für die reine und angewandte Mathematik 375/376, 346–361 (1987)
Menke, K.: Point systems with extremal properties and conformal mapping. Numerische Mathematik 54, 125–143 (1988)
Pólya, G., Szegő, G.: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I. Springer Verlag, 4th edition, 1971
Pommerenke, C.: Univalent Functions. Vandenhoek & Ruprecht, 1975
Saff, E.B., Totik, V.: Logarithmic Potentials with external Fields. Springer-Verlag, 1997
Stiemer, M.: Effective discretization of the energy integral and Grunsky coefficients in annuli. To appear in Constructive Approximation, 2004
Tsuji, M.: Potential Theory in Modern Function Theory. Maruzen, 1959