Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về Tần Suất Của Các Nghiệm Zeros Của Phương Trình Vi Phân Tuyến Thứ Hai
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét phương trình
$\rm f^{\prime\prime}+{A}(z){f}=0$ với các nghiệm độc lập tuyến tính f1,2, trong đó A(z) là một hàm toàn cục siêu việt có bậc hữu hạn. Các điều kiện được đưa ra trên A(z) nhằm đảm bảo rằng max{λ(f1),λ(f2)} = ∞, trong đó λ(g) biểu thị chỉ số hội tụ của các nghiệm của g. Chúng tôi chứng minh như một trường hợp đặc biệt của một kết quả khác rằng nếu P(z) là một đa thức chẵn thực không hằng số với hệ số hàng đầu dương thì mọi nghiệm không tầm thường của
$\rm f^{\prime\prime}+{e}^P{f}=0$ thoả mãn λ(f) = ∞. Cuối cùng, chúng tôi xem xét phương trình đặc biệt
$\rm f^{\prime\prime}+({e}^Z-K){f}=0$ trong đó K là một hằng số, điều này đặc biệt thú vị vì, tùy thuộc vào K, hoặc mọi nghiệm đều có λ(f) = ∞ hoặc tồn tại hai nghiệm độc lập f1, f2 mỗi nghiệm có λ(fi) ≤ 1.
Từ khóa
#Phương trình vi phân #đặc điểm nghiệm #hàm siêu việt #chỉ số hội tụ #nghiệm không tầm thườngTài liệu tham khảo
S. Bank, G. Frank, I. Laine, Uber die Nullstellen von Lösungen linearer Differentialgleichungen, Math. Zeit 183, 355–364 (1983).
S. Bank, I. Laine, On the Oscillation Theory of f″ + Af = 0 where A is entire, Trans. Amer. Math. Soc. 273, 351–363 (1982).
S. Bank, I. Laine, Representation of Solutions of Periodic Second Order Linear Differential Equations, J. Reine Angew Math. 344, 1–21 (1983).
S. Bank, I. Laine, On the Zeros of Meromorphic Solutions of Second Order Linear Differential Equations, Comment. Math. Helv. 58, 656–677 (1983).
R. Bellman, Stability Theory of Differential Equations, McGraw-Hill, New York, 1953.
W. K. Hayman, Slowly Growing Integral and Subharmonic Functions, Comment. Math. Helv. 34, 75–84 (1960).
W. K. Hayman, Meromorphic Functions, Oxford at the Clarendon Press, 1964.
H. Herold, Ein Vergleichssatz für komplexe lineare Differentialgleichungen, Math. Zeit. 126, 91–94 (1972).
E. Hille, Lectures on Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1969.
M. Ozawa, On a Solution of w″ + e−zw′ + (az + b)w = 0, Kodai Math. J. 3, 295–309 (1980).
F. Tricomi, Differential Equations, Hafner, New York, 1961.
G. Valiron, Lectures on the General Theory of Integral Functions, Chelsea, New York, 1949.