Về các mô hình thống kê trên cây siêu

A. Gorsky1, Sergei Nechaev2, Alexander Valov3
1Institute for Information Transmission Problems of RAS, Moscow, Russian Federation
2Interdisciplinary Scientific Center Poncelet (CNRS UMI 2615), Moscow, Russian Federation
3N.N. Semenov Institute of Chemical Physics of RAS, Moscow, Russian Federation

Tóm tắt

Tóm tắt Chúng tôi xem xét một ví dụ cụ thể về sự tương tác giữa các mô hình thống kê liên quan đến lý thuyết trường lượng tử (CFT) ở một bên, và các thuộc tính phổ của phương trình vi phân thông thường (ODE), được biết đến với tên gọi sự tương ứng ODE/IS, ở bên kia. Chúng tôi tập trung vào việc biểu diễn các hàm sóng của các toán tử Schrödinger dưới hình thức các thuộc tính phổ của các ma trận chuyển tiếp liên quan trên "cây siêu" (những cây mà bậc đỉnh thay đổi theo khoảng cách từ điểm gốc). Những cây như vậy với các nhánh thay đổi mã hóa cấu trúc không gian Fock của mô hình. Chúng tôi thảo luận về các thuộc tính phổ cơ bản của "tập hợp ma trận ngẫu nhiên trung bình" dưới dạng các đa thức Hermite cho ma trận chuyển tiếp của các cây siêu. Ở "tốc độ nhánh" nhỏ, chúng tôi đã liên hệ vấn đề đếm đường đi trên các cây siêu với thống kê của các đường đi Dyck một chiều trọng số theo diện tích. Chúng tôi cũng thảo luận về mối liên hệ giữa thống kê phổ của các bước ngẫu nhiên trên các cây siêu với sự phân loại Kardar-Parisi-Zhang.

Từ khóa

#mô hình thống kê #lý thuyết trường lượng tử #cây siêu #ma trận chuyển tiếp #thống kê ngẫu nhiên

Tài liệu tham khảo

P. Dorey and R. Tateo, Anharmonic oscillators, the thermodynamic Bethe ansatz and nonlinear integral equations, J. Phys. A 32 (1999) L419 [hep-th/9812211] [INSPIRE].

V.V. Bazhanov, S.L. Lukyanov and A.B. Zamolodchikov, Spectral determinants for Schrödinger equation and Q operators of conformal field theory, J. Statist. Phys. 102 (2001) 567 [hep-th/9812247] [INSPIRE].

J. Suzuki, Anharmonic oscillators, spectral determinant and short exact sequence of U(q) (affine sl(2)), J. Phys. A 32 (1999) L183 [hep-th/9902053] [INSPIRE].

P. Dorey, C. Dunning and R. Tateo, The ODE/IM Correspondence, J. Phys. A 40 (2007) R205 [hep-th/0703066] [INSPIRE].

V.V. Bazhanov, S.L. Lukyanov and A.B. Zamolodchikov, On nonequilibrium states in QFT model with boundary interaction, Nucl. Phys. B 549 (1999) 529 [hep-th/9812091] [INSPIRE].

M. Aganagic, M.C.N. Cheng, R. Dijkgraaf, D. Krefl and C. Vafa, Quantum Geometry of Refined Topological Strings, JHEP 11 (2012) 019 [arXiv:1105.0630] [INSPIRE].

D. Krefl, Non-Perturbative Quantum Geometry II, JHEP 12 (2014) 118 [arXiv:1410.7116] [INSPIRE].

D. Krefl, Non-Perturbative Quantum Geometry III, JHEP 08 (2016) 020 [arXiv:1605.00182] [INSPIRE].

M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Mariño and C. Vafa, Topological strings and integrable hierarchies, Commun. Math. Phys. 261 (2006) 451 [hep-th/0312085] [INSPIRE].

M. Kardar, G. Parisi and Y.-C. Zhang, Dynamic Scaling of Growing Interfaces, Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 889 [INSPIRE].

T. Halpin-Healy and Y.-C. Zhang, Kinetic roughening phenomena, stochastic growth, directed polymers and all that. Aspects of multidisciplinary statistical mechanics, Phys. Rept. 254 (1995) 215.

K. Johansson, Shape fluctuations and random matrices, Commun. Math. Phys. 209 (2000) 437.

M. Prähofer and H. Spohn, Universal Distributions for Growth Processes in 1+1 Dimensions and Random Matrices, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 4882.

M. Prähofer and H. Spohn, Scale Invariance of the PNG Droplet and the Airy Process, J. Stat. Phys. 108 (2002) 1071.

C.A. Tracy and H. Widom, Level spacing distributions and the Airy kernel, Commun. Math. Phys. 159 (1994) 151 [hep-th/9211141] [INSPIRE].

K. Bulycheva, A. Gorsky and S. Nechaev, Critical behavior in topological ensembles, Phys. Rev. D 92 (2015) 105006 [arXiv:1409.3350] [INSPIRE].

A. Maritan, Random walk and the ideal chain problem on self-similar structures, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 2845.

F.F. Ternovsky, I.A. Nyrkova and A.R. Khokhlov, Statistics of an ideal polymer chain near the bifurcation region of a narrow tube, Physica A 184 (1992) 342.

Z. Burda, J. Duda, J.-M. Luck and B. Waclaw, Localization of the Maximal Entropy Random Walk, Phys. Rev. Lett. 102 (2009) 160602.

S.K. Nechaev, M.V. Tamm and O.V. Valba, Path counting on simple graphs: from escape to localization, J. Stat. Mech. 2017 (2017) 053301.

M. Kornyik and G. Michaletzky, Wigner matrices, the moments of roots of Hermite polynomials and the semicircle law, J. Approx. Theor. 211 (2016) 29.

D. Dominici, Asymptotic analysis of the Hermite polynomials from their differential-difference equation, J. Diff. Eq. Appl. 13 (2007) 1115.

I. Dumitriu and A. Edelman, Matrix models for beta ensembles, J. Math. Phys. 43 (2002) 5830.

L. Carlitz and J. Riordan, Two element lattice permutation numbers and their q-generalization, Duke J. Math. 31 (1964) 371.

J. Fürlinger and J. Hofbauer, q-Catalan numbers, J. Comb. Theor. A 40 (1985) 248.

T. Prellberg and R. Brak, Critical exponents from nonlinear functional equations for partially directed cluster models, J. Stat. Phys. 78 (1995) 701.

C. Richard, A.J. Guttmann and I. Jensen, Scaling function and universal amplitude combinations for selfavoiding polygons, J. Phys. A 34 (2001) L495 [cond-mat/0107329] [INSPIRE].

C. Richard, Scaling Behaviour of Two-Dimensional Polygon Models, J. Stat. Phys. 108 (2002) 459.

I.M. Lifshitz, Theory of Fluctuation Levels in Disordered Systems, Sov. Phys. JETP 26 (1968) 462.

I.M. Lifshitz, S.A. Gredeskul and L.A. Pastur, Introduction to the theory of disordered systems, Wiley-Interscience, (1988).

T.M. Nieuwenhuizen, Trapping and Lifshitz Tails in Random Media, Self-Attracting Polymers, and the Number of Distinct Sites Visited: A Renormalized Instanton Approach in Three Dimensions, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 357.

E. Gorsky, q,t-Catalan numbers and knot homology. Zeta Functions in Algebra and Geometry, Contemp. Math. 566 (2012) 213 [arXiv:1003.0916].

E. Gorsky, Arc spaces and DAHA representations, Selecta Math. 19 (2012) 125.

S. Nechaev, K. Polovnikov, A. Valov, to be published.

B.L. Altshuler, Y. Gefen, A. Kamenev and L.S. Levitov, Quasiparticle Lifetime in a Finite System: A Nonperturbative Approach, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 2803 [INSPIRE].

R. Abou-Chacra, D.J. Thouless and P.W. Anderson, A selfconsistent theory of localization, J. Phys. C 6 (1973) 1734.

D. Basko, I. Aleiner and B. Altshuler, Metal-insulator transition in a weakly interacting many-electron system with localized single-particle states, Annals Phys. 321 (2006) 1126.

O. Salberger and V. Korepin, Entangled spin chain, Rev. Math. Phys. 29 (2017) 1750031.

O. Salberger, T. Udagawa, Z. Zhang, H. Katsura, I. Klich and V. Korepin, Deformed Fredkin Spin Chain with Extensive Entanglement, J. Stat. Mech. 1706 (2017) 063103 [arXiv:1611.04983] [INSPIRE].

X. Chen, E. Fradkin and W. Witczak-Krempa, Gapless quantum spin chains: multiple dynamics and conformal wavefunctions, J. Phys. A 50 (2017) 464002 [arXiv:1707.02317] [INSPIRE].