Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về khuôn khổ không gian Hilbert cho các hệ thống tiến hóa của vật lý toán học cổ điển: một khảo sát
Tóm tắt
Chúng tôi khảo sát một phương pháp không gian – thời gian không gian Hilbert đối với các vấn đề phương trình vi phân riêng phần động quen thuộc trong vật lý toán học của dạng chuẩn toán tử $$\left( \partial _{0}{\mathcal {M}}+A\right) U=F,$$ với F đã cho. Ở đây, $$\partial _{0}$$ biểu thị cho đạo hàm theo thời gian, A là một toán tử không tự adjoint không gian và $$\mathcal {M}$$ mô tả các thuộc tính vật liệu. Vì lí do đơn giản, chúng tôi tập trung vào trường hợp $$\mathcal {M}$$ sao cho $$\partial _{0}{\mathcal {M}}=\partial _{0}M_{0}+M_{1}$$, trong đó $$M_{0},M_{1}$$ là các toán tử không gian liên tục, trường hợp của các vật liệu không có ký ức. Trường hợp đặc biệt này được chứng minh là có mối quan hệ chặt chẽ với các hệ thống Friedrichs không gian – thời gian. Khung lý thuyết được minh họa bằng các ví dụ như sự truyền sóng âm thanh cổ điển, điện từ và đàn hồi, cũng như các phương trình Klein–Gordon, Schrödinger và Dirac.
Từ khóa
#không gian Hilbert #phương trình vi phân riêng phần #vật lý toán học #toán tử #truyền sóng #hệ thống FriedrichsTài liệu tham khảo
Antonić, N., Erceg, M., Michelangeli, A.: Friedrichs systems in a Hilbert space framework: solvability and multiplicity. J. Differ. Equ. 263(12), 8264–8294 (2017)
Cakoni, F., Hsiao, G.C.: Mathematical model of the interaction problem between electromagnetic field and elastic body. In: Acoustics, mechanics, and the related topics of mathematical analysis. Proceedings of the international conference to celebrate Robert P. Gilbert’s 70th birthday, Frejus, France, June 18–22, 2002, pp. 48–54. World Scientific, River Edge (2002)
Dirac, P.A.M.: The quantum theory of the electron. I. Proc. R. Soc. Lond. (A) 117, 610–624 (1928)
Dirac, P.A.M.: Quantised singularities in the electromagnetic field. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A 133(821), 60–72 (1931)
Felsen, L.B., Marcuvitz, N.: Radiation and Scattering of Waves (IEEE Press Series on Electromagnetic Wave Theory). Wiley-IEEE Press, New York (1994)
Friedrichs, K.O.: Symmetric hyperbolic linear differential equations. Commun. Pure Appl. Math. 7, 345–392 (1954)
Friedrichs, K.O.: Symmetric positive linear differential equations. Commun. Pure Appl. Math. 11(3), 333–418 (1958)
Leontovich, M.: Über eine Methode der Lösung des Problems der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen nahe der Erdoberfläche. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Fiz. 8, 16–22 (1944)
Mulholland, A.J., Picard, R., Trostorff, S., Waurick, M.: On well-posedness for some thermo-piezoelectric coupling models. Math. Methods Appl. Sci. 39(15), 4375–4384 (2016). mma.3866
Picard, R.: A structural observation for linear material laws in classical mathematical physics. Math. Methods Appl. Sci. 32(14), 1768–1803 (2009)
Picard, R.: Mother operators and their descendants. J. Math. Anal. Appl. 403(1), 54–62 (2013)
Picard, R.: On well-posedness for a piezo-electromagnetic coupling model with boundary dynamics. Comput. Methods. Appl. Math. 17(3), 499 (2017)
Picard, R.: On an elasto-acoustic transmission problem in anisotropic, inhomogeneous media. Adv. Oper. Theory 3(4), 816–828 (2018)
Picard, R., Freymond, H.: On electromagnetic waves in complex linear media in nonsmooth domains. Math. Methods Appl. Sci. 36(8), 880–895 (2013)
Picard, R., McGhee, D.: Partial Differential Equations. A Unified Hilbert Space Approach, De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 55. de Gruyter, Berlin (2011)
Picard, R., Trostorff, S., Waurick, M., Wehowski, M.: On non-autonomous evolutionary problems. J. Evol. Equ. 13(4), 751–776 (2013)
Picard, R., Trostorff, S., Waurick, M.: On a connection between the Maxwell system, the extended Maxwell system, the Dirac operator and gravito-electromagnetism. Math. Methods Appl. Sci. 40, 415–434 (2014)
Picard, R., Trostorff, S., Waurick, M.: On evolutionary equations with material laws containing fractional integrals. Math. Methods Appl. Sci. 38(15), 3141–3154 (2015)
Picard, R., Trostorff, S., Waurick, M.: On some models for elastic solids with micro-structure. ZAMM J. Appl. Math. Mech. 95(7), 664–689 (2015)
Picard, R., Trostorff, S., Waurick, M.: Well-posedness via Monotonicity—An Overview, vol. 250, pp. 397–452. Springer International Publishing, Cham (2015)
Picard, R., Seidler, S., Trostorff, S., Waurick, M.: On abstract grad-div systems. J. Differ. Equ. 260(6), 4888–4917 (2016)
Trostorff, S.: Autonomous evolutionary inclusions with applications to problems with nonlinear boundary conditions. Int. J. Pure Appl. Math. 85(2), 303–338 (2013)
Sz.-Nagy, B.: Sur les contractions de l’espace de Hilbert. Acta Sci. Math. 15, 87–92 (1953)
Sz.-Nagy, B., Foias, C., Bercovici, H., Kérchy, L.: Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space, 2nd revised and enlarged edn. Springer, New York (2010)
Trostorff, S.: Well-posedness for a general class of differential inclusions. arXiv:1808.00224 (2018)
Waurick, M.: On non-autonomous integro-differential-algebraic evolutionary problems. Math. Methods Appl. Sci. 38(4), 665–676 (2015)