Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương pháp làm tròn tổng đa chiều cho lập trình nguyên trong thiết kế thí nghiệm tối ưu
Tóm tắt
Chúng tôi trình bày một phương pháp số để xấp xỉ nghiệm của các chương trình nguyên lồi phát sinh từ thiết kế thí nghiệm tối ưu. Thiết lập thống kê bao gồm một khuôn khổ Bayesian cho các bài toán ngược tuyến tính mà trong đó mối quan hệ trực tiếp được mô tả bởi một phương trình tích phân rời rạc. Cụ thể, chúng tôi nhắm đến việc tìm kiếm vị trí cảm biến tối ưu từ một tập hợp các vị trí ứng cử nơi dữ liệu được thu thập với sai số đo lường. Hàm mục tiêu lồi là một thước đo của sự không chắc chắn, được mô tả ở đây bằng dấu vết hoặc log-determinant của ma trận hiệp phương sai posterior, cho nghiệm của bài toán ngược tuyến tính đã rời rạc hóa. Chương trình nguyên lồi thu được được làm mềm, tạo ra một giới hạn dưới. Một giới hạn trên được thu được bằng cách mở rộng phương pháp làm tròn tổng lên nhiều chiều. Đối với sự mở rộng này, chúng tôi phân tích độ chính xác của nó như một hàm của kích thước lưới rời rạc cho một miền hình chữ nhật. Chúng tôi chỉ ra tính tối ưu tiệm cận của nghiệm nguyên định nghĩa giới hạn trên cho các tiêu chí thiết kế thí nghiệm khác nhau (A- và D-optimal), bằng cách chứng minh sự hội tụ về không của khoảng cách giữa giới hạn trên và giới hạn dưới khi kích thước lưới tiến tới không. Kỹ thuật này được minh họa trên một vấn đề khảo sát trọng lực hai chiều cho cả vị trí cảm biến A-optimal và D-optimal, nơi mà các thiết kế của chúng tôi mang lại kết quả tốt hơn so với phương pháp làm tròn ngưỡng.
Từ khóa
#lập trình nguyên #thiết kế thí nghiệm tối ưu #phương pháp số #lồi #ma trận hiệp phương sai #phương trình tích phânTài liệu tham khảo
Alexanderian, A., Petra, N., Stadler, G., Ghattas, O.: A-optimal design of experiments for infinite-dimensional Bayesian linear inverse problems with regularized \(l_0\)-sparsification. SIAM J. Sci. Comput. 36, A2122–A2148 (2014)
Alexanderian, A., Petra, N., Stadler, G., Ghattas, O.: A fast and scalable method for a-optimal design of experiments for infinite-dimensional Bayesian nonlinear inverse problems. SIAM J. Sci. Comput. 38(1), A243–A272 (2016)
Atkinson, K., Han, W.: Theoretical Numerical Analysis, vol. 39. Springer, New York (2005)
Balas, E., Ceria, S., Dawande, M., Margot, F., Pataki, G.: Octane: a new heuristic for pure 0–1 programs. Operat. Res. 49, 207–225 (2001)
Berry, J., Hart, W.E., Phillips, C.A., Uber, J.G., Watson, J.P.: Sensor placement in municipal water networks with temporal integer programming models. J. Water Resour. Plan. Manag. 132, 218–224 (2006)
Berthold, T.: RENS–the optimal rounding. Math. Prog. Comput. 6, 33–54 (2014)
Blacker, T.: Meeting the challenge for automated conformal hexahedral meshing. In: 9th International Meshing Roundtable, pp. 11–20 (2000)
Boyd, S., Vandenberghe, L.: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge (2004)
Cox, D.R., Reid, N.: The Theory of the Design of Experiments. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton (2000)
Cressie, N., Wikle, C.K.: Statistics for Spatio-Temporal Data. Wiley, New York (2015)
Drăgănescu, A.: Multigrid preconditioning of linear systems for semi-smooth newton methods applied to optimization problems constrained by smoothing operators. Optim. Methods Softw. 29(4), 786–818 (2014)
Engl, H.W., Hanke, M., Neubauer, A.: Regularization of Inverse Problems, vol. 375. Springer, New York (1996)
Friedman, J., Hastie, T., Tibshirani, R.: The Elements of Statistical Learning, vol. 1. Springer, New York (2001)
Geoga, C.J., Anitescu, M., Stein, M.L.: Scalable Gaussian process computations using hierarchical matrices (2018). arXiv preprint, arXiv:1808.03215
Hammer, P.L., Johnson, E.L., Peled, U.N.: Facet of regular 0–1 polytopes. Math. Program. 8, 179–206 (1975)
Horn, R.A., Johnson, C.R.: Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge (1990)
Iyengar, S.S., Brooks, R.R.: Distributed Sensor Networks, Second Edition: Sensor Networking and Applications. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton (2016)
Kaipio, J., Somersalo, E.: Statistical and Computational Inverse Problems, vol. 160. Springer, New York (2006)
Kendall, E.A.: The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind. Cambridge University Press, Cambridge (1997)
Kirsch, A.: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems. Springer, New York (2011)
Krause, A., Leskovec, J., Guestrin, C., VanBriesen, J., Faloutsos, C.: Efficient sensor placement optimization for securing large water distribution networks. J. Water Resour. Plan. Manag. 134, 516–526 (2008)
Lodi, A., Bonami, P., Cornuéjols, G., Margot, F.: A feasibility pump for mixed integer nonlinear programs. Math. Program. 119, 331–352 (2009)
Nannicini, G., Belotti, P.: Rounding-based heuristics for nonconvexminlps. Math. Program. Comput. 4, 1–31 (2012)
Patera, A.T.: A Spectral Element Method for Fluid Dynamics: Laminar Flow in a Channel Expansion, vol. 54. Elsevier, Amsterdam (1984)
Pukelsheim, F.: Optimal Design of Experiments. Classics in Applied Mathematics, vol. 50. SIAM (2006)
Sager, S.: Sampling decision in optimum experimental design in the light of Pontryagin’s maximum principle. SIAM J. Control Optim. 51, 3181–3207 (2013)
Sager, S., Bock, H.G., Diehl, M.: The integer approximation error in mixed-integer optimal control. Math. Program. Ser. A 133, 1–23 (2012)
Wang, Y., Yagola, A.G., Yang, C.: Computational Methods for Applied Inverse Problems. Higher Education Press, Beijing (2012)
Watson, J.P., Greenberg, H.J., Hart, W.E.: A multiple-objective analysis of sensor placement optimization in water networks. In: Proceedings of the World Water and Environment Resources Congress. American Society of Civil Engineers (2004)
Welch, W.J.: Algorithmic complexity: three NP-hard problems in computational statistics. J. Stat. Comput. Simul. 15(1), 17–25 (1982)
Wielandt, H.: Error bounds for eigenvalues of symmetric integral equations. Proc. Sympos. Appl. Math 6, 261–282 (1956)
Wolsey, L.A.: Faces for a linear inequality in 0–1 variables. Math. Program. 8, 165–178 (1975)
Yu, J., Zavala, V.M., Anitescu, M.: A scalable design of experiments framework for optimal sensor placement. J. Process Control 67, 44–55 (2017)
Zhang, Yongjie, Bajaj, Chandrajit: Adaptive and quality quadrilateral/hexahedral meshing from volumetric data. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 195(9–12), 942–960 (2006)