Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Vấn đề Cauchy hỗn hợp với điều kiện biên bên cho các phương trình hyperbolic suy biến không đặc trưng
Tóm tắt
Trong bài báo này, trong miền hình trụ
$D=\Omega \times (0,T)$
với
$\Omega \subset {R}^{n}$
, chúng tôi xem xét một vấn đề Cauchy hỗn hợp với điều kiện biên bên tiềm năng cho phương trình suy biến không đặc trưng sau đây
$$\begin{aligned} Lu=u_{tt}-k(t)\Delta _{x}u(x,t)=f(x,t), \end{aligned}$$
trong đó
$k(t)\geq 0$
. Như trong trường hợp cho các phương trình hyperbolic nghiêm ngặt, trước tiên chúng tôi thiết lập rằng
$u\in W_{2}^{1}(D)$
và
$u\in W_{2}^{2}(D)$
dưới các giả định
$\Vert \frac{f}{k} \Vert _{L_{2}(\Omega )}(t)<\infty $
và
$\Vert \frac{\mathrm{grad}_{x} f}{k} \Vert _{L_{2}(\Omega )}(t)<\infty $
cho mọi
$t\in [0,T]$
, tương ứng.
Từ khóa
#Vấn đề Cauchy hỗn hợp #điều kiện biên bên #phương trình hyperbolic suy biến #phương trình không đặc trưngTài liệu tham khảo
Krasnov, M.L.: Mixed boundary problems for degenerate linear hyperbolic differential equations second order. Mat. Sb. 91(1), 29–84 (1959)
Dzhuraev, T.D.: Boundary Value Problems for Equations of Mixed and Mixed-Composite Types. Fan, Tashkent (1979)
Vragov, V.N.: Boundary Value Problems for Nonclassical Equations of Mathematical Physics. NGU, Novosibirski (1983)
Kozhanov, A.I.: Linear inverse problems for a class of degenerate equations of Sobolev type. Vestn. Yuzhno-Ural’skogo Univ. Ser. Mat. Model. Program. 11, 33–42 (2012)
Tricomi, F.G.: On Linear Partial Differential Equations of the Second Order of Mixed Type. Graduate Division of Applied Mathematics. Brown University, Providence (1948)
Gellerstedt, S.: Sur Un Problème aux Limites Pour Uneéquation Lineare aux Dérivées Partielles du Second Order de Type mixte. These pour le doctorat Uppsala (1935)
Bitsadze, A.V.: Some Classes of Partial Differential Equations. Science, Moscow (1981)
Nakhushev, A.M.: Problems with Shift for Partial Differential Equations. Science, Moscow (2006)
Kal’menov, T.S.: A criterion for the continuity of the solution of the Goursat problem for a certain degenerate equation. Differ. Uravn. 8(1), 41–54 (1972)
Kal’menov, T.S.: The characteristic Cauchy problem for a certain class of degenerate hyperbolic equations. Differ. Uravn. 9(1), 84–96 (1973)
Kal’menov, T.S., Suragan, D.: Initial-boundary value problems for the wave equation. Electron. J. Differ. Equ. 2014(48), 1 (2014)
Ruzhansky, M., Tokmagambetov, N.: Wave equation for operators with discrete spectrum and irregular propagation speed. Arch. Ration. Mech. Anal. 226(3), 1161–1207 (2017)
Smirnov, M.M.: Degenerate Elliptic and Hyperbolic Equations. Science, Moscow (1966)
Egorov, I.E., Pyatkov, S.G., Popov, S.V.: Nonclassical Differential-Operator Equations. Nauka, Novosibirsk (2000)
Radkevic, E.V., Olejnik, O.A.: Second Order Equations with Nonnegative Characteristic Form. Am. Math. Soc., USA (1973)
Ruzhansky, M., Sadybekov, M., Suragan, D.: Spectral Geometry of Partial Differential Operators. Taylor & Francis, London (2020)
Kal’menov, T.S., Suragan, D.: To spectral problems for the volume potential. Dokl. Math. 80(2), 646–649 (2009)