Phân tích giới hạn dưới bằng phương pháp phần tử hữu hạn và lập trình tuyến tính

Bài báo này mô tả một kỹ thuật để tính toán tải trọng giới hạn dưới trong cơ học đất dưới các điều kiện biến dạng phẳng. Để áp dụng định lý giới hạn dưới của lý thuyết dẻo cổ điển, một mô hình đất dẻo hoàn hảo được giả định, có thể là đất kết dính hoàn toàn hoặc có tính kết dính- ma sát, cùng với một quy tắc dòng liên quan. Bằng cách sử dụng một xấp xỉ tuyến tính phù hợp của mặt phẳng nhô, quy trình tính toán một trường ứng suất chấp nhận tĩnh thông qua các phần tử hữu hạn và lập trình tuyến tính. Trường ứng suất được mô hình hóa bằng các tam giác 3 đỉnh tuyến tính và có thể xảy ra các gián đoạn ứng suất chấp nhận tĩnh ở các cạnh của từng tam giác. Việc áp dụng các điều kiện biên ứng suất, cân bằng và nhô dẫn đến một biểu thức cho tải trọng sụp đổ được tối đa hóa với các ràng buộc tuyến tính đối với các ứng suất nút. Vì tất cả các yêu cầu cho một giải pháp chấp nhận tĩnh đều được thỏa mãn chính xác (trừ các lỗi làm tròn nhỏ trong các tính toán tối ưu hóa), giải pháp thu được là một giới hạn dưới chuẩn mực cho tải trọng sụp đổ thực sự và do đó ‘an toàn’.

Một nhược điểm lớn của kỹ thuật này, như được mô tả lần đầu bởi Lysmer,¹ là thời gian tối ưu hóa trên máy tính cần thiết để giải quyết vấn đề lập trình tuyến tính. Bài báo này cho thấy rằng hạn chế này có thể được khắc phục bằng cách sử dụng thuật toán tập hợp chủ động, thay vì chiến lược đơn giản truyền thống hoặc đơn giản đã sửa đổi, để giải quyết vấn đề tối ưu hóa phát sinh. Điều này là do đặc tính của ma trận ràng buộc, vốn luôn rất thưa và thường có nhiều hàng hơn cột. Nó cũng chỉ ra rằng quy trình này có thể, mà không cần sửa đổi, được sử dụng để suy ra các giới hạn dưới chính xác cho một loại đất kết dính hoàn toàn có sức mạnh gia tăng theo chiều sâu. Lớp vấn đề quan trọng này rất khó giải quyết bằng các phương pháp thông thường. Một số ví dụ được đưa ra để minh họa tính hiệu quả của quy trình.