Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tính khả thi cục bộ của các hệ thống khuếch tán phi tuyến bậc cao
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu các hệ thống khuếch tán phi tuyến dưới dạng
$$\partial _t u_k + \partial _x^{(2j + 1)} u_k + P_k (u_l , \ldots u_n , \ldots ,\partial _x^{2j} u_l, \ldots ,\partial _x^{2j} u_n ) = 0, x,t \in \mathbb{R},$$
trong đó k=1, …, n, j ∈ ℤ+, và P_k(·) là các đa thức không có hạng mục hằng số hoặc tuyến tính. Chúng tôi chỉ ra rằng bài toán giá trị đầu liên quan là khả thi cục bộ trong các không gian Sobolev có trọng số. Phương pháp chúng tôi sử dụng là sự kết hợp giữa hiệu ứng làm mịn của toán tử ∂t + ∂
x
(2j+1)
và một phép biến đổi đồng hồ thực hiện trên một hệ thống tuyến tính, điều này cho phép chúng tôi xem xét dữ liệu đầu vào với kích thước tùy ý.
Từ khóa
#hệ thống khuếch tán phi tuyến #tính khả thi cục bộ #không gian Sobolev #toán tử làm mịn #phép biến đổi đồng hồTài liệu tham khảo
Fokas, A. S. (1987).Topics in Soliton Theory and Exactly Solvable Nonlinear Equation, World Scientific, Singapore.
Hayashi, N. (1994). Local Existence in Time of Solutions to Higher Order Non-Linear Dispersive Equations. Preprint.
Hayashi, N. and Ozawa, T. (1992). On the derivative nonlinear Schrödinger equation.Phys. D,55, 14–36.
Hayashi, N. and Ozawa, T. (1994). Remarks on nonlinear Schrödinger equations in one space dimension. Differential and Integral Equations,7, 453–461.
Kenig, C., Ponce, G., and Vega, L. (1993). Well-Posedness and Scattering Results for Generalized KdV Equation via the Contraction Principle.Comm. Pure Appl. Math. 46, 527–620.
Kenig, C., Ponce, G., and Vega, L. (1994). Higher Order Non-Linear Dispersive Equations.Proc. Amer. Math. Soc. 122, 157–166.
Kenig, C., Ponce, G., and Vega, L. (1994). On the Hierarchy of the Generalized KdV Equations.Proc. Lyon Workshop on Singular Limits of Dispersive Waves, NATO ASI, B 320, 347–356.
Kichenassamy, S. and Olver, P. J., Existence and non-existence of solitary waves solutions to higher order model evolution equations. Preprint.
Lax, P. D. (1965). Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.Comm. Pure Appl. Math. 21, 467–490.
Oevel, Y. M. and Rapowicz, Z. (1991). The bi-Hamiltonian structure of fully supersymmetric Korteweg-de Vries systems.Comm. Math. Phys. 139, 441–460.
Piccinini, L. C., Stampacchia, G., and Vidossich, G. (1984).Ordinary Differential Equations in ℝ n.Appl. Math. Sci. 39, Springer-Verlag, New York.
Verhulst, F. (1990).Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag, Berlin.