Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương Pháp Biến Hình Trộn Kiểu Dựa Trên Phân Tích Không Gian Cho Một Loại Vấn Đề Khuếch Tán Phân Frac Độ Biến
Tóm tắt
Trong bài viết này, chúng tôi phân tích không gian đạo hàm phân như là tổng trực tiếp của không gian Sobolev phân và một không gian đặc biệt được sinh ra bởi $$x^{-\beta }$$, sau đó đề xuất một công thức biến hình trộn kiểu độc lập với $$x^{-\beta }$$ trên các không gian Sobolev thường được sử dụng cho một loại phương trình khuếch tán phân độ biến hệ số, dựa trên kỹ thuật bình phương tối thiểu và những ưu điểm của phân tích tổng trực tiếp. Chúng tôi sau đó chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của công thức biến hình, chỉ ra sự tương đương giữa công thức biến hình và phương trình khuếch tán phân, và thảo luận về tính điều hòa của nghiệm đối với phương trình với một hàm bên phải tổng quát. Do đó, một phương pháp phần tử hữu hạn trộn bình phương tối thiểu dễ tính toán và hội tụ với bậc tối ưu được thiết lập. Phân tích số học bậc tối ưu với các thí nghiệm số hỗ trợ cũng được thực hiện.
Từ khóa
#phương trình khuếch tán phân #công thức biến hình trộn kiểu #không gian Sobolev #phương pháp phần tử hữu hạn #đạo hàm phân #bình phương tối thiểuTài liệu tham khảo
Askey, R., Fitch, J.: Integral representations for Jacobi polynomials and some applications. J. Math. Anal. Appl. 26(2), 411–437 (1969)
Benson, D.A., Wheatcraft, S.W., Meerschaert, M.M.: The fractional-order governing equation of L\(\acute{e}\)vy motion. Water Resour. Res. 36, 1413–1423 (2000)
Brenner, S.C., Scott, L.R.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer, New York (1994)
Chen, H.Z., Wang, H.: Numerical simulation for conservative fractional diffusion equations by an expanded mixed formulation. J. Comp. Appl. Math. 296, 480–498 (2016)
Ciarlet, P.G.: The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland, Amsterdam (1978)
Deng, W., Hesthaven, J.S.: Local discontinuous Galerkin methods for fractional diffusion equations. ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 47, 1845–1864 (2013)
Donatelli, M., Mazza, M., Serra-Capizzano, S.: Spectral analysis and structure preserving preconditioners for fractional diffusion equations. J. Comput. Phys. 307, 262–279 (2016)
Ervin, V.J., Heuer, N., Roop, J.P.: Regularity of the solution to 1-D fractional order diffusion equations. Math. Comput. 87, 2273–2294 (2016)
Ervin, V.J., Roop, J.P.: Variational formulation for the stationary fractional advection dispersion equation. Numer. Methods Partial Differ. Equ. 22, 558–576 (2005)
Ervin, V.J., Roop, J.P.: Variational solution of fractional advection dispersion equations on bounded domains in \(R^d\). Numer. Methods Partial Differ. Equ. 23, 256–281 (2007)
Fix, G.J., Roop, J.P.: Least squares finite-element solution of a fractional order two-point boundary value problem. Comput. Math. Appl. 48, 1017–1033 (2004)
Gorenflo, R., Fabritiis, G.D., Mainardi, F.: Discrete random walk models for symmetric Levy-Feller diffusion processes. Phys. A. 269, 79–89 (1999)
Grisvard, P.: Elliptic Problems in Nonsmooth Domains. Pitman, Boston (1985)
Jia, J.H., Wang, H.: A preconditioned fast finite volume scheme for a fractional differential equation discretized on a locally refined composite mesh. J. Comput. Phys. 299(15), 842–862 (2015)
Jia, L.L., Chen, H.Z., Wang, H.: Mixed-type Galerkin variational principle and numerical simulation for a generalized nonlocal elastic model. J. Sci. Comput. 71, 660–681 (2017)
Jin, B.T., Lazarov, R., Pasciak, J., Rundell, W.: Variational formulation of problems involving fractional order differential operators. Math. Comput. 84, 2665–2700 (2015)
Jin, B.T., Lazarov, R., Zhou, Z.: A Petrov–Galerkin finite element method for fractional convection-diffusion equations. SIAM J. Numer. Anal. 54, 481–503 (2016)
Jin, B.T., Lazarov, R., Lu, X.L., Zhou, Z.: A simple finite element method for boundary value problems with a Riemann-Liouville derivative. J. Comput. Appl. Math. 293, 94–111 (2016)
Jin, B.T., Zhou, Z.: A finite element method with singularity reconstruction for fractional boundary value problems. ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 49, 1261–1283 (2015)
Klafter, J., Sokolov, I.M.: Anomalous diffusion spreads its wings. Phys. World. 18(8), 29–32 (2005)
Lei, S.L., Sun, H.W.: A circulant preconditioner for fractional diffusion equations. J. Comput. Phys. 242, 715–725 (2013)
Li, Y.S., Chen, H.Z., Wang, H.: A mixed-type Galerkin variational formulation and fast algorithms for variable-coefficient fractional diffusion equations. Math. Method Appl. Sci. 40, 5018–5034 (2017)
Lions, J.L., Magenes, E.: Non-homogeneous Boundary Value Problems and Applications, vol. I. Springer, New York (1972)
Mao, Z.P., Chen, S., Shen, J.: Efficient and accurate spectral method using generalized Jacobi functions for solving Riesz fractional differential equations. Appl. Numer. Math. 106, 165–181 (2016)
Meerschaert, M.M., Tadjeran, C.: Finite difference approximation for two-sided space-fractional partial differential equations. J. Appl. Math. 56, 80–90 (2006)
Nie, N., Huang, J., Wang, W., Tang, Y.: Solving spatial-fractional partial differential diffusion equations by spectral method. J. Stat. Comput. Simul. 84, 1173–1189 (2014)
Pan, J., Ng, M.K., Wang, H.: Fast iterative solvers for linear systems arising from time-dependent space-fractional diffusion equations. SIAM J. Sci. Comput. 38(5), A2806–A2826 (2016)
Pang, H.K., Sun, H.W.: Multigrid method for fractional diffusion equations. J. Comput. Phys. 231, 693–703 (2012)
Podlubny, I.: Fractional Differential Equations. Academic Press, New York (1999)
Samko, S., Kilbas, A., Marichev, O.: Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. Gordon and Breach, London (1993)
Scher, H.E., Montroll, W.: Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids. Phys. Rev. B. 12(6), 2455–2477 (1975)
Shen, J., Tang, T., Wang, L.L.: Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications. Springer, Berlin (2011)
Sobolev, R.A., Fournier, J.F.: Sobolev Spaces. Elsevier, Singapore (2009)
Szego, G.: Orthogonal Polynomials. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 23. American Mathematical Society, Providence (1975)
Wang, H., Basu, T.S.: A fast finite difference method for two-dimensional space-fractional diffusion equations. SIAM J. Sci. Comput. 34, A2444–A2458 (2012)
Wang, H., Yang, D.P.: Wellposedness of variable-coefficient conservative fractional elliptic differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 51(2), 1088–1107 (2013)
Wang, H., Yang, D.P., Zhu, S.F.: A Petrov–Galerkin finite element method for variable-coefficient fractional diffusion equations. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 290, 45–56 (2015)
Wheatcraft, S.W., Meerschaert, M.M.: Fractional conservation of mass. Adv. Water. Resour. 31, 1377–1381 (2008)
Yang, D. P., Wang, H.: Wellposedness and regularity of steady-state two-sided variable-coefficient conservative space-fractional diffusion equations. arXiv:1606.04912 [math.NA] (2016)
Yang, Q., Turner, I., Moroney, T., Liu, F.: A finite volume scheme with preconditioned Lanczos method for two-dimensional space-fractional reaction-diffusion equations. Appl. Math. Model. 38, 3755–3762 (2014)
Zhang, Y., Benson, D.A., Meerschaert, M.M., Scheffler, H.P.: On using random walks to solve the space-fractional advection-dispersion equations. J. Stat. Phys. 123, 89–110 (2006)