Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các phương pháp Galerkin gián đoạn cục bộ dạng ẩn–minh bạch với dòng số học luân phiên tổng quát cho các vấn đề khuếch tán–vận chuyển
Tóm tắt
Bài báo này phân tích các phương pháp Galerkin gián đoạn cục bộ với các dòng số học luân phiên tổng quát kết hợp với việc lặp theo thời gian ẩn–minh bạch để giải quyết các vấn đề khuếch tán–vận chuyển, trong đó phần minh bạch được xử lý bằng sơ đồ Runge–Kutta bảo toàn độ ổn định mạnh, và phần ẩn được xử lý bằng phương pháp Runge–Kutta đối góc ổn định L. Dựa trên dòng số học luân phiên tổng quát, chúng tôi thiết lập mối quan hệ quan trọng giữa gradient và nhảy giao diện của nghiệm số với nghiệm số độc lập của gradient, điều này đóng vai trò then chốt trong việc đạt được độ ổn định vô điều kiện của các sơ đồ đề xuất. Ngoài ra, nhờ sự hỗ trợ của phép chiếu Gauss–Radau tổng quát, các ước lượng sai số tối ưu có thể được thể hiện. Các thí nghiệm số được thực hiện để xác minh độ ổn định và độ chính xác của các sơ đồ đề xuất với các dòng số học khác nhau.
Từ khóa
#phương pháp Galerkin gián đoạn cục bộ #dòng số học luân phiên #khuếch tán-vận chuyển #ổn định #sai số tối ưuTài liệu tham khảo
Adams, R.A.: Sobolev Spaces. Academic Press, New York (1975)
Ascher, U.M., Ruuth, S.J., Spiteri, R.J.: Implicit–explicit Runge–Kutta methods for time-dependent partial differential equations. Appl. Numer. Math. 25, 151–167 (1997)
Bassi, F., Rebay, S.: A high-order accurate discontinuous finite element method for the numerical solution of the compressible Navier–Stokes equations. J. Comput. Phys. 131, 267–279 (1997)
Burman, E., Ern, A.: Implicit–explicit Runge–Kutta schemes and finite elements with symmetric stabilization for advection–diffusion equations. ESAIM: M2AN 46, 681–707 (2012)
Calvo, M.P., de Frutos, J., Novo, J.: Linearly implicit Runge–Kutta methods for advection–reaction–diffusion equations. Appl. Numer. Math. 37, 535–549 (2001)
Castillo, P., Cockburn, B., Schötzau, D., Schwab, C.: Optimal a priori error estimates for the \(hp\)-version of the local discontinuous Galerkin method for the convection–diffusion problems. Math. Comput. 71, 455–478 (2001)
Cheng, Y., Meng, X., Zhang, Q.: Application of generalized Gauss–Radau projections for the local discontinuous Galerkin method for linear convection–diffusion equations. Math. Comput. 305, 1233–1267 (2017)
Cheng, Y., Zhang, Q.: Local analysis of the local discontinuous Galerkin method with generalized alternating numerical flux for one-dimensional singularity perturbed problem. J. Sci. Comput. 72, 792–819 (2017)
Chou, C.-S., Shu, C.-W., Xing, Y.L.: Optimal energy conserving local discontinuous Galerkin methods for second-order wave equation in heterogeneous media. J. Comput. Phys. 272, 88–107 (2014)
Cockburn, B., Kanschat, G., Schötzau, D.: A locally conservative LDG method for the incompressible Navier–Stokes equations. Math. Comput. 74, 1067–1095 (2005)
Cockburn, B., Shu, C.-W.: The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection–diffusion systems. SIAM J. Numer. Anal. 35, 2440–2463 (1998)
Golub, G.H., Van Loan, C.F.: Matrix Computations. Posts and Telecom Press, Beijing (2011)
Gottlieb, S., Shu, C.-W., Tadmor, E.: Strong stability-preserving high-order time discretization methods. SIAM Rev. 43, 89–112 (2001)
Guo, H., Yu, F., Yang, Y.: Local discontinuous Galerkin method for incompressible miscible displacement problem in porous media. J. Sci. Comput. 71, 615–633 (2017)
Guo, R., Filbet, F., Xu, Y.: Efficient high order semi-implicit time discretization and local discontinuous Galerkin methods for highly nonlinear PDEs. J. Sci. Comput. 68, 1029–1054 (2016)
Hairer, E., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential–Algebraic Problems. Springer, New York (1991)
Herty, M., Pareschi, L., Steffensen, S.: Implicit–explicit Runge–Kutta schemes for numerical discretization of optimal control problems. SIAM J. Numer. Anal. 51, 1875–1899 (2013)
Higueras, I., Happenhofer, N., Koch, O., Kupka, F.: Optimized strong stability preserving IMEX Runge–Kutta methods. J. Comput. Appl. Math. 272, 116–140 (2014)
Kupka, F., Happenhofer, N., Higueras, I., Koch, O.: Total-variation-diminishing implicit–explicit Runge–Kutta methods for the simulation of double-diffusive convection in astrophysics. J. Comput. Phys. 231, 3561–3586 (2012)
Li, Q., He, Y.L., Wang, Y., Tao, W.Q.: Coupled double-distribution-function lattice Boltzmann method for the compressible Navier–Stokes equations. Phys. Rev. E 76, 056705 (2007)
Li, X., Shu, C.-W., Yang, Y.: Local discontinuous Galerkin methods for Keller–Segel chemotaxis model. J. Sci. Comput. 73, 943–967 (2017)
Liu, Y., Shu, C.-W.: Local discontinuous Galerkin methods for moment models in device simulations: formulation and one dimensional results. J. Comput. Electron. 3, 263–267 (2004)
Liu, Y., Shu, C.-W.: Local discontinuous Galerkin methods for moment models in device simulations: performance assessment and two dimensional results. Appl. Numer. Math. 57, 629–645 (2007)
Meng, X., Shu, C.-W., Wu, B.: Optimal error estimates for discontinuous Galerkin methods based on upwind-biased fluxes for linear hyperbolic equations. Math. Comput. 85, 1225–1261 (2016)
Pareschi, L., Russo, G.: Implicit–explicit Runge–Kutta schemes and applications to hyperbolic systems with relaxation. J. Sci. Comput. 25, 129–155 (2005)
Pieraccini, S., Puppo, G.: Implicit–explicit schemes for BGK kinetic equations. J. Sci. Comput. 32, 1–28 (2007)
Shu, C.-W.: Discontinuous Galerkin methods: general approach and stability, numerical solutions of partial differential equations. In: Bertoluzza, S., Falletta, S., Russo, G., Shu, C.-W. (eds.) Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona, pp. 149–201. Basel, Birkhäuser (2009)
Shu, C.-W., Osher, S.: Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes. J. Comput. Phys. 77, 439–471 (1988)
Wang, H.J., Shu, C.-W., Zhang, Q.: Stability and error estimates of local discontinuous Galerkin methods with implicit–explicit time-marching for advection–diffusion problems. SIAM J. Numer. Anal. 53, 206–227 (2015)
Wang, H.J., Shu, C.-W., Zhang, Q.: Stability analysis and error estimates of local discontinuous Galerkin methods with implicit–explicit time-marching for nonlinear convection–diffusion problems. Appl. Math. Comput. 272, 237–258 (2016)
Wang, H.J., Wang, S.P., Zhang, Q., Shu, C.-W.: Local discontinuous Galerkin methods with implicit–explicit time-marching for multi-dimensional convection–diffusion problems. ESAIM: M2AN 50, 1083–1105 (2016)
Wang, H.J., Zhang, Q.: Error estimate on a fully discrete local discontinuous Galerkin method for linear convection–diffusion problem. J. Comput. Math. 31, 283–307 (2013)
Wang, H.J., Zhang, Q., Shu, C.-W.: Third order implicit–explicit Runge–Kutta local discontinuous Galerkin methods with suitable boundary treatment for convection–diffusion problems with Dirichlet boundary conditions. J. Comput. Appl. Math. 342, 164–179 (2018)
Xu, Y., Shu, C.-W.: Local discontinuous Galerkin methods for high-order time-dependent partial differential equations. Commun. Comput. Phys. 7, 1–46 (2010)
Yan, J., Shu, C.-W.: Local discontinuous Galerkin methods for partial differential equations with higher order derivatives. J. Sci. Comput. 17, 27–47 (2002)
Zhang, Q., Gao, F.Z.: A fully-discrete local discontinuous Galerkin method for convection-dominated Sobolev equation. J. Sci. Comput. 51, 107–134 (2012)
Zhang, Q., Shu, C.-W.: Error estimates to smooth solution of Runge–Kutta discontinuous Galerkin methods for scalar conservation laws. SIAM J. Numer. Anal. 42, 641–666 (2004)
Zhang, Q., Shu, C.-W.: Stability analysis and a priori error estimates of the third order explicit Runge–Kutta discontinuous Galerkin method for scalar conservation laws. SIAM J. Numer. Anal 48, 1038–1064 (2010)
Zhang, Q., Wu, Z.: Numerical simulation for porous medium equation by local discontinuous Galerkin finite element method. J. Sci. Comput. 38, 127–148 (2009)