Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Giải pháp giới hạn toàn cầu cho mô hình đi tìm nguồn thức ăn và khai thác với các nguồn logistic và cơ chế thu hút khác nhau
Tóm tắt
Bài báo này đề cập đến một mô hình đi tìm nguồn thức ăn và khai thác với điều kiện biên Neumann đồng nhất:
$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} u_t=d_1 \varDelta u-\nabla \cdot (\chi (w)u\nabla w)+a_1u-b_1u^{\theta _1} \quad &{} x\in \varOmega , \ t>0, \\ v_t=d_2 \varDelta v-\nabla \cdot (\rho (u)v\nabla u)+a_2v-b_2v^{\theta _2} \quad &{} x\in \varOmega , \ t>0, \\ w_t=d_3 \varDelta w-\alpha (u+v)w-\beta w+r(x,t) \quad &{} x\in \varOmega , \ t>0, \\ \partial _\nu u=\partial _\nu v=\partial _\nu w=0 \quad &{} x\in \partial \varOmega , \ t>0, \\ u(x,0)=u_0(x)\ge 0, \ \ \ v(x,0)=v_0(x)\ge 0 \ \ \ w(x,0)=w_0(x)\ge 0 \quad &{} x\in \varOmega , \end{array}\right. \end{aligned}$$
trong đó
$$\varOmega \subset {\mathbb {R}}^n$$
$$(n\ge 2)$$
là một miền hữu hạn, các hằng số
$$a_1, \ a_2, \ b_1, \ b_2, \ \theta _1, \ \theta _2, \ \alpha , \ \beta $$
là dương. Các hàm không âm
$$\chi (w), \ \rho (u), \ r(x,t)$$
thỏa mãn
$$\chi (w)\in C^1([0,\infty ))$$
,
$$\rho (u)\in C^1([0,\infty ))$$
và
$$r(x,t)\in C^1({\bar{\varOmega }}\times [0,\infty ))\cap L^{\infty }(\varOmega \times (0,\infty )),$$
tương ứng. Các hàm khởi tạo không âm thỏa mãn
$$u_0,w_0\in W^{2,\infty }(\varOmega ), \ v_0\in W^{1,\infty }(\varOmega )$$
và
$$\partial _\nu u_0=\partial _\nu v_0=\partial _\nu w_0=0$$
. Khi
$$n>2$$
,
$$\theta _1>2$$
và
$$\theta _2>\frac{n}{2}+1$$
, chúng tôi chứng minh rằng bài toán này có một giải pháp cổ điển toàn cầu, mà được giới hạn đồng nhất. Kết quả này cải thiện công trình của Wang (Nonlinear Anal 222: 112985, 2022), trong đó sự giới hạn toàn cầu của giải pháp được thiết lập cho
$$\theta _1>\frac{n}{2}+1$$
,
$$\theta _2>\frac{n}{2}+1$$
,
$$\chi (w)\equiv \chi $$
và
$$\rho (u)\equiv \rho $$
và
$$\chi ,\rho >0$$
là hai hằng số. Hơn nữa, khi
$$n=2$$
, hoặc
$$\theta _1=2$$
và
$$\theta _2>2$$
hoặc
$$1<\theta _1<2$$
,
$$\theta _2>2$$
và
$$\mathop {\int }\limits _t^{t+1}\mathop {\int }\limits _\varOmega |\nabla \sqrt{r(x,t)}|^2<\infty $$
cho mọi
$$t>0$$
, bài toán này cũng có một giải pháp cổ điển toàn cầu giới hạn. Kết quả này phần nào tổng quát hóa những kết quả đã biết trước đây.
Từ khóa
#mô hình đi tìm nguồn thức ăn #giải pháp cổ điển toàn cầu #điều kiện biên NeumannTài liệu tham khảo
Amann, H.: Nonhomogeneous linear and quasilinear elliptic and parabolic boundary value problems. In: Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis, Friedrichroda, 1992. In: Teubner-Texte Math., vol. 133, Teubner, Stuttgart, pp. 9–126 (1993)
Bellomo, N., Bellouquid, A., Tao, Y.S., Winkler, M.: Towards a mathematical theory of Keller-Segel models of pattern formation in biological tissues. Math. Models Methods Appl. Sci. 25(9), 1663–1763 (2015)
Black, T.: Global generalized solutions to a forager-exploiter model with superlinear degradation and their eventual regularity properties. Math. Models Methods Appl. Sci. 30(6), 1075–1117 (2020)
Cao, X.: Global radial renormalized solution to a producer-scrounger model with singular sensitivities. Math. Models Methods Appl. Sci. 30(6), 1119–1165 (2020)
Chen, Y., Li, Z.P.: Boundedness and stabilization in a quasilinear forager-exploiter model with volume-filling effects. Z. Angew. Math. Phys. 73, 175 (2022)
Fujie, K., Ito, A., Winkler, M., Yokota, T.: Stabilization in a chemotaxis model for tumor invasion. Discrete Contin. Dyn. Syst. 36, 151–169 (2016)
Gao, J.P., Guo, S.J., Ma, L.: Global existence and spatiotemporal pattern formation of a nutrient-microorganism model with nutrient-taxis in the sediment. Nonlinear Dyn. 108, 4207–4229 (2022)
Gao, J.P., Guo, S.J.: Global dynamics and spatio-temporal patterns in a two-species chemotaxis system with two chemicals. Z. Angew. Math. Phys. 72, 25 (2021)
Lankeit, J., Wang, Y.L.: Global existence, boundedness and stabilization in a high-dimensional chemotaxis system with consumption. Discrete Contin. Dyn. Syst. 37(12), 6099–6121 (2017)
Liu, C.F., Guo, S.J.: Dynamics of a predator-prey system with nonlinear prey-taxis. Nonlinearity 35, 4283–4316 (2022)
Liu, Y.Y.: Global existence and boundedness of classical solutions to a forager-exploiter model with volume-filling effects. Nonlinear Anal. Real World Appl. 50, 519–531 (2019)
Liu, Y.Y., Zhuang, Y.H.: Boundedness in a high-dimensional forager-exploiter model with nonlinear resource consumption by two species. Z. Angew. Math. Phys. 71, 151 (2020)
Lou, Y., Winkler, M.: Global existence and uniform boundedness of smooth solutions to a cross-diffusion system with equal diffusion rates. Commun. Partial Differ. Equ. 40(10), 1905–1941 (2015)
Mizoguchi, N., Souplet, P.: Nondegeneracy of blow-up points for the parabolic Keller-Segel system. Ann. Inst. H. Poincar’e Anal. Non Lin’eaire 31, 851–875 (2014)
Quittner, P., Souplet, P.: Superlinear Parabolic Problems. Blow-Up, Global Existence and Steady States. In: Birkhauser Advanced Textt, Birkhauser Verlag, Basel, (2007)
Stinner, C., Surulescu, C., Winkler, M.: Global weak solutions in a PDE-ODE system modeling multiscale cancer cell invasion. SIAM J. Math. Anal. 46, 1969–2007 (2014)
Tania, N., Vanderlei, B., Heath, J.P., Edelstein-Keshet, L.: Role of social interactions in dynamic patterns of resource patches and forager aggregation. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 109, 11228–11233 (2012)
Tao, Y.S., Winkler, M.: Large time behavior in a forager-exploiter model with different taxis strategies for two groups in search of food. Math. Models Methods Appl. Sci. 29(11), 2151–2182 (2019)
Tao, Y.S., Winkler, M.: Small-signal solutions to a nonlocal cross-diffusion model for interaction of scroungers with rapidly diffusing foragers. Math. Models Methods Appl. Sci. 33(1), 103–138 (2023)
Wang, J.P.: Global existence and boundedness of a forager-exploiter system with nonlinear diffusions. J. Differ. Equ. 276, 460–492 (2021)
Wang, J.P.: Global existence and stabilization in a forager-exploiter model with general logistic sources. Nonlinear Anal. 222, 112985 (2022)
Wang, J.P., Wang, M.X.: Global bounded solution of the higher-dimensional forager-exploiter model with/without growth sources. Math. Models Methods Appl. Sci. 30, 1297–1323 (2020)
Wang, J.P., Wang, M.X.: Global solution of a diffusive predator-prey model with prey-taxis. Comput. Math. Appl. 77, 2676–2694 (2019)
Wang, Y.Z., Guo, S.J.: Traveling wave solutions for a two-species competitive Keller-Segel chemotaxis system. Nonlinear Anal. Real World Appl. 73, 103900 (2023)
Wang, Y.Z., Guo, S.J.: Dynamics for a two-species competitive Keller-Segel chemotaxis system with a free boundary. J. Math. Anal. Appl. 502, 125259 (2021)
Winkler, M.: Global generalized solutions to a multi-dimensional doubly tactic resource consumption model accounting for social interactions. Math. Models Methods Appl. Sci. 29, 373–418 (2019)
Winkler, M.: Global large-data solutions in a chemotaxis-(Navier-)Stokes system modeling cellular swimming in fluid drops. Commun. Partial Differ. Equ. 37, 319–351 (2012)
Winkler, M.: Aggregation vs. global diffusive behavior in the higher-dimensional Keller-Segel model. J. Differ. Equ. 248(12), 2889–2905 (2010)
Xu, L., Mu, C.L., Xin, Q.: Global boundedness of solutions to the two-dimensional forager-exploiter model with logistic source. Discrete Contin. Dyn. Syst. 41, 3031–3043 (2021)
Zhao, Q., Liu, B.: Global generalized solutions to the forager-exploiter model with logistic growth. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 27, 5255–5282 (2021)