Phương pháp sai phân hữu hạn cho các phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman phát sinh trong tối ưu hóa tiện ích chuyển đổi chế độ

Jingtang Ma1, Jianjun Ma1
1School of Economic Mathematics, Southwestern University of Finance and Economics, Chengdu, People’s Republic of China

Tóm tắt

Để giải quyết bài toán tối đa hóa tiện ích chuyển đổi chế độ, Fu và cộng sự (Eur J Oper Res 233:184–192, 2014) đã xây dựng một khuôn khổ giúp giảm các phương trình Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) liên kết thành một chuỗi các phương trình HJB tách biệt thông qua việc giới thiệu một toán tử hàm. Mục tiêu của bài báo này là phát triển các phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) lặp với chính sách lặp cho chuỗi các phương trình HJB tách biệt được chỉ ra bởi Fu và cộng sự (2014). Độ hội tụ của phương pháp này được chứng minh và trong quá trình chứng minh, một số khó khăn đã được vượt qua, do các lỗi từ các FDM lặp và các lần lặp chính sách. Các so sánh số học được thực hiện để chỉ ra rằng việc giải chuỗi các phương trình HJB tách biệt tốn ít thời gian hơn so với các phương trình liên kết.

Từ khóa

#Tối ưu hóa tiện ích #phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman #phương pháp sai phân hữu hạn #chuyển đổi chế độ #hội tụ

Tài liệu tham khảo

Azimzadeh, P., Forsyth, P.: Weakly chained matrices and impulse control. SIAM J. Numer. Anal. 54, 1341–1364 (2016)

Babbin, J., Forsyth, P., Labahn, G.: A comparison of iterated optimal stopping and local policy iteration for American options under regime switching. J. Sci. Comput. 58, 409–430 (2014)

Barles, G.: Convergence of numercial schemes for degenerate parabolic equations arising in finance. In: Rogers, L., Talay, D. (eds.) Numerical Methods in Finance, pp. 1–21. Cambridge University Press, Cambridge (1997)

Barles, G., Souganidis, P.: Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equations. Asympt. Anal. 4, 271–283 (1991)

Bäuerle, N., Rieder, U.: Portfolio optimization with Markov-modulated stock prices and interest rates. IEEE Trans. Autom. Control 29, 442–447 (2005)

Bian, B., Miao, S., Zheng, H.: Smooth value functions for a class of nonsmooth utility maximization problems. SIAM J. Financ. Math. 2, 727–747 (2011)

Bian, B., Zheng, H.: Turnpike property and convergence rate for an investment model with general utility functions. J. Econ. Dyn. Control 51, 28–49 (2015)

Buffington, J., Elliott, R.: Regime switching and European options. Stochast. Theory Control 280, 73–82 (2002)

Canakog̈lu, E., Özekici, S.: HARA frontiers of optimal portfolios in stochastic markets. Eur. J. Oper. Res. 221, 129–137 (2012)

Dang, D., Forsyth, P.: Better than pre-commitment mean-variance portfolio allocation strategies a semi-self-financing Hamilton–Jacobi–Bellman equation approach. Eur. J. Oper. Res. 250, 827–841 (2016)

Forsyth, P.: A Hamilton–Jacobi–Bellman approach to optimal trade execution. Appl. Numer. Math. 61, 241–265 (2011)

Forsyth, P., Kennedy, J., Tse, T., Windcliff, H.: Optimal trade execution: a mean quadratic variation approach. J. Econ. Dyn. Control 36, 1971–1991 (2012)

Forsyth, P., Labahn, G.: Numerical methods for controlled Hamilton–Jacobi–Bellman PDEs in finance. J. Comput. Finance 11, 1–44 (2008)

Forsyth, P., Labahn, G.: \(\varepsilon \)-monotone Fourier methods for optimal stochastic control in finance. J. Comput. Finance 22, 25–71 (2019)

Forsyth, P., Ma, K.: Numerical solution of the Hamilton–Jacobi–Bellman formulation for continuous-time mean-variance asset allocation under stochastic volatility. J. Comput. Finance 20, 1–37 (2016)

Fu, J., Wei, J., Yang, H.: Portfolio optimization in a regime-switching market with derivatives. Eur. J. Oper. Res. 233, 184–192 (2014)

Hamilton, J.: A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle. Ecomometrica 57, 357–384 (1989)

Hardy, M.: A regime-switching model for long-term stock returns. North Am. Actuarial J. 5, 41–53 (2001)

Honda, T.: Optimal portfolio choice for unobservable and regime-switching mean returns. J. Econ. Dyn. Control 28, 45–78 (2003)

Huang, Y., Forsyth, P., Labahn, G.: Methods for pricing American options under regime switching. SIAM J. Sci. Comput. 33, 2144–2168 (2011)

Huang, Y., Forsyth, P., Labahn, G.: Combined fixed point and policy iteration for HJB equations in finance. SIAM J. Numer. Anal. 50, 1849–1860 (2012)

Li, H., Mollapourasl, R., Haghi, M.: A local radial basis function method for pricing options under the regime switching model. J. Sci. Comput. 79, 517–541 (2019)

Ma, J., Li, W., Zheng, H.: Dual control Monte-Carlo method for tight bounds of value function in regime switching utility maximization. Eur. J. Oper. Res. 263, 851–862 (2017)

Mollapourasl, R., Haghi, M., Liu, R.: Localized kernel-based approximation for pricing financial options under regime switching jump diffusion model. Appl. Numer. Math. 134, 81–104 (2018)

Pham, H.: Continuous-Time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications. Springer, New York (2009)

Pooley, D., Forsyth, P., Vetzal, K.: Numerical convergence properties of option pricing PDEs with uncertain volatility. IMA J. Numer. Anal. 23, 241–267 (2003)

Reisinger, C., Forsyth, P.: Piecewise constant policy approximations to Hamilton–Jacobi–Bellman equations. Appl. Numer. Math. 103, 27–47 (2016)

Rieder, U., Bäuerle, N.: Portfolio optimization with unobservable Markov-modulated drift process. J. Appl. Prob. 43, 362–378 (2005)

Sass, J., Haussmann, U.: Optimizing the terminal wealth under partial information: the drift process as a continuous time Markov chain. Finance Stochast. 8, 553–577 (2004)

Tse, T., Forsyth, P., Kennedy, J., Windcliff, H.: Comparison between the mean variance optimal and mean quadratic variation optimal trading strategies. Appl. Math. Finance 20, 415–449 (2013)

Wang, J., Forsyth, P.: Numerical solution of the Hamilton–Jacobi–Bellman formulation for continuous time mean variance asset allocation. J. Econ. Dyn. Control 34, 207–230 (2010)

Yao, D., Zhang, Q., Zhou, X.: A Regime-Switching Model for European Option Pricing. Stochastic Processes, Optimization, and Control Theory: Applications in Financial Engineering. Springer, New York (2006)

Yin, G., Zhang, Q., Liu, F., Liu, R., Cheng, Y.: Stock liquidation via stochastic approximation using NASDAQ daily and intra-day data. Math. Finance 16, 217–236 (2006)

Yong, J., Zhou, X.: Stochastic Controls: Hamiltonian Systems and HJB Equations. Springer, New York (1999)

Zhang, Q., Yin, G., Liu, R.: A near-optimal selling rule for a two-time-scale market model. SIAM J. Multiscale Model. Simul. 4, 172–193 (2005)

Zhou, X., Yin, G.: Markowitz’s mean-variance portfolio selection with regime switching: a continuous-time model. SIAM J. Control Optim. 42, 1466–1482 (2003)