Các đa thức N-tuyến tính bậc 2 trên các trường hữu hạn, I

Designs, Codes and Cryptography - Tập 6 - Trang 107-116 - 1995
Helmut Meyn1
1Informatik 1, Universität Erlangen-Nürnberg, Erlangen, Germany

Tóm tắt

Đối với một số nguyên tố lẻ có lũy thừa q, trường vô hạn GF(q²∞)= ⋃n≥0 GF(q²n) được trình bày một cách rõ ràng bởi một dãy (fn)≥1 của các đa thức N-tuyến tính. Điều này có nghĩa là, với một đa thức khởi đầu được chọn thích hợp f1, các đa thức xác định fn∈GF(q)[x] có bậc 2n được xây dựng bằng cách lặp lại phép biến đổi biến x→x+1/x và có các nghiệm độc lập tuyến tính trên GF(q). Ngoài ra, các dãy này tương thích với phép truy vết theo nghĩa rằng các phép truy vết tương đối ánh xạ các nghiệm tương ứng lên nhau. Trong bài báo đầu tiên này, trường hợp q≡1 (mod 4) được xem xét và trường hợp q≡3 (mod 4) sẽ được xử lý trong một bài báo thứ hai. Cấu trúc cụ thể này giải quyết một vấn đề do A. Scheerhorn nêu ra trong [11].

Từ khóa

#trường hữu hạn #đa thức N-tuyến tính #bậc 2 #phép biến đổi #nghiệm độc lập tuyến tính #phép truy vết

Tài liệu tham khảo

I. F. Blake, S. Gao, and R. C. Mullin, Specific irreducible polynomials with linearly independent roots over finite fields,Linear Algebra and its Applications, (submitted) (1993).

J. V. Brawley and G. E. Schnibben, (1989). Infinite algebraic extensions of finite fields,Contemporary Mathematics, Vol. 95 (1989) Amer. Math. Soc., Providence.

S. D. Cohen, The explicit construction of irreducible polynomials over finite fields,Designs, Codes and Cryptography, Vol. 2 (1992) pp. 169–174.

S. Gao (1993).Normal Bases over Finite Fields, Ph.D. Thesis, Waterloo.

H. W. Lenstra, Jr. and R. J. Schoof, Primitive normal bases for finite fields,Mathematics of Computation, Vol. 48, No. 177 (1987) pp. 217–231.

R. Lidl and H. Niederreiter,Introduction to Finite Fields and Their Applications, revised edition, Cambridge University Press, Cambridge (1994).

A. J. Menezes (Ed.), I. F. Blake, S. Gao, R. C. Mullin, S. A. Vanstone, and T. Yaghoobian,Applications of Finite Fields, Kluwer Academic Publ., Boston, Dordrecht, London (1993).

H. Meyn, On the construction of irreducible self-reciprocal polynomials over finite fields,Appl. Alg. in Eng., Comm. and Comp., Vol. 1 (1990), pp. 43–53.

H. Meyn, An iterated normal presentation of GF(q 2∞). In:Applications of Finite Fields, IMA-Conference Series, Clarendon Press, Oxford (1994).

A. Scheerhorn, Trace- and norm-compatible extensions of finite fields.Appl. Alg. in Eng., Comm. and Comp., Vol. 3 (1992) pp. 199–209.

A. Scheerhorn,Darstellungen des algebraischen Abschlusses endlicher Körper und Spur-kompatible Polynomfolgen, Ph.D. Thesis, Erlangen (1993).

A. Scheerhorn, Iterated constructions of normal bases over finite fields. In:Finite Fields: Theory, Applications and Algorithms (G. L. Mullen and P. J.-S. Shiue, Eds.), Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence (1994).

Š. Schwarz, Irreducible polynomials over finite fields with linearly independent roots,Math. Slovaca, Vol. 38 (1988), pp. 147–158.

I. A. Semaev, (1989). Construction of polynomials irreducible over a finite field with linearly independent roots,Math. USSR Sbornik, Vol. 63 (1989) pp. 507–519.

Thông tin
Thông tin xuất bản

Designs, Codes and Cryptography

Tập 6

107-116

Thông tin tác giả