Cấu trúc $$\hbox {G}_{2}$$ chính xác trên đại số Lie đơn trị

Springer Science and Business Media LLC - Tập 193 - Trang 47-60 - 2020
Marisa Fernández1, Anna Fino2, Alberto Raffero2
1Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencia y Tecnología, Universidad del País Vasco UPV/EHU, Bilbao, Spain
2Dipartimento di Matematica “G. Peano”, Università degli Studi di Torino, Torino, Italy

Tóm tắt

Chúng tôi xem xét các đại số Lie đơn trị bảy chiều \(\mathfrak{g}\) có chứa các cấu trúc G\(2\) chính xác, tập trung vào những đại số có số Betti thứ ba bằng 0 \(b_3(\mathfrak{g})\). Chúng tôi thảo luận về một số ví dụ, cả trong trường hợp \(b_2(\mathfrak{g})\ne 0\), và trong trường hợp đại số Lie \(\mathfrak{g}\) là (2,3)-trivial, tức là khi cả \(b_2(\mathfrak{g})\) và \(b_3(\mathfrak{g})\) đều bằng 0. Các ví dụ này là có thể giải quyết, vì \(b_3(\mathfrak{g})=0\), nhưng không phải là đơn trị mạnh, một điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của các mạng trên nhóm Lie liên thông tương ứng với \(\mathfrak{g}\). Nói chung, chúng tôi chứng minh rằng bất kỳ đại số Lie đơn trị mạnh (2,3)-trivial nào cũng không có cấu trúc G\(2\) chính xác. Từ đó, điều này dẫn đến kết luận rằng không có ví dụ nào dạng \((\Gamma \backslash \mathrm{G},\varphi)\), trong đó \(\mathrm{G}\) là một nhóm Lie liên thông bảy chiều với đại số Lie (2,3)-trivial, \(\Gamma \subset \mathrm{G}\) là một nhóm con rời rạc co-compact, và \(\varphi\) là một cấu trúc G\(2\) chính xác trên \(\Gamma \backslash \mathrm{G}\) được sinh ra từ một cấu trúc tốp học trái ổn định trên \(\mathrm{G}\).

Từ khóa


Tài liệu tham khảo

Bonan, E.: Sur les variétés riemanniennes à groupe d’holonomie \(\text{ G }_2\) ou spin\((7)\). C. R. Acad. Sci. Paris 262, 127–129 (1966)

Bryant, R.L.: Metrics with exceptional holonomy. Ann. Math. 126, 525–576 (1987)

Bryant, R.L.: Some remarks on \(\text{ G }_2\)-structures. In: Proceedings of Gökova Geometry–Topology Conference 2005, Gökova Geometry/Topology Conference (GGT), Gökova, pp. 75–109 (2006)

Conti, D., Fernández, M.: Nilmanifolds with a calibrated \(\rm G_2\)-structure. Differ. Geom. Appl. 29, 493–506 (2011)

Diatta, A., Manga, B.: On properties of principal elements of Frobenius Lie algebras. J. Lie Theory 24(3), 849–864 (2014)

Fernández, M.: An example of a compact calibrated manifold associated with the exceptional Lie group \(\text{ G }_2\). J. Differ. Geom. 26(2), 367–370 (1987)

Fernández, M.: A family of compact solvable \(\text{ G }_2\)-calibrated manifolds. Tohoku Math. J. 39(2), 287–289 (1987)

Fernández, M., Fino, A., Kovalev, A., Muñoz, V.: A compact \(\text{ G }_2\)-calibrated manifold with first Betti number \(b_1=1\). arXiv:1808.07144 [math.DG]

Fernández, M., Gray, A.: Riemannian manifolds with structure group \(\text{ G }_2\). Ann. di Mat. Pura Appl. 32, 19–45 (1982)

Fino, A., Raffero, A.: Closed \(\text{ G }_2\)-structures on non-solvable Lie groups. Rev. Mat. Complut. 32(3), 837–851 (2019)

Garland, H.: On the cohomology of lattices in solvable Lie groups. Ann. Math. 84, 174–195 (1966)

Gray, A.: Vector cross products on manifolds. Trans. Amer. Math. Soc. 141, 465–504 (1969)

Hattori, A.: Spectral sequence in the de Rham cohomology of fibre bundles. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I(8), 289–331 (1960)

Joyce, D.D.: Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy \(\text{ G }_2\) I. J. Differ. Geom. 43(II), 291–328 (1996)

Madsen, T.B., Swann, A.: Multi-moment maps. Adv. Math. 229(4), 2287–2309 (2012)

Madsen, T.B., Swann, A.: Closed forms and multi-moment maps. Geom. Dedic. 165, 25–52 (2013)

Milnor, J.: Curvatures of left invariant metrics on Lie groups. Adv. Math. 21(3), 293–329 (1976)

Nomizu, K.: On the cohomology of compact homogeneous spaces of nilpotent Lie groups. Ann. Math. 2(59), 531–538 (1954)

Salamon, S.M.: Complex structures on nilpotent Lie algebras. J. Pure Appl. Algebra 157(2–3), 311–333 (2001)

Thông tin
: []
Thông tin xuất bản

Springer Science and Business Media LLC

Tập 193

47-60

Thông tin tác giả