Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Giải pháp tĩnh và phi tĩnh chính xác cho mô hình Maxwell không đàn hồi với năng lượng vô hạn
Tóm tắt
Phương trình Boltzmann không đàn hồi một chiều với tỷ lệ va chạm không đổi (mô hình Maxwell) được xem xét. Bài báo chỉ ra rằng với các giá trị đặc biệt của tham số phục hồi, tồn tại một nghiệm tĩnh với hàm đặc trưng ở dạng
$$e^{-P(\log (z))z},$$
trong đó P là một hàm tuần hoàn. Hàm phân phối tương ứng thuộc về một lớp đặc biệt của các quá trình ngẫu nhiên được gọi là ổn định tổng quát trong lý thuyết xác suất. Biến đổi Fourier của phương trình phi tĩnh có nghiệm
$$\bigl (1+P(\log (z))z\bigr )e^{-Q(\log (z))z}$$
. Đã chứng minh rằng nghiệm này là một hàm đặc trưng nếu các hàm tuần hoàn P, Q thỏa mãn một số điều kiện không quá hạn chế. Các nghiệm tĩnh và phi tĩnh tương ứng với một loại khí có nhiệt độ vô hạn.
Từ khóa
#phương trình Boltzmann không đàn hồi #mô hình Maxwell #hàm đặc trưng #quá trình ngẫu nhiên #lý thuyết xác suất #nhiệt độ vô hạnTài liệu tham khảo
Bobylev, A.: A class of invariant solutions of the Boltzmann equation. Doklady Akad. Nauk SSSR. 231, 571–574 (1976)
Krook, T., Wu, T.: Formation of Maxwellian tails. Phys. Rev. Lett. 76, 1107–1109 (1976)
Bobylev, A.: Exact solutions of the nonlinear Boltzmann equation and the theory of relaxation of a Maxwellian gas. Theor. Math. Phys. 60, 280–310 (1984)
Bobylev, A., Cercignani, C.: Exact eternal solutions of the Boltzmann equation. J. Stat. Phys. 106, 1019–1038 (2002)
Bobylev, A., Cercignani, C.: Self-similar solutions of the Boltzmann equation and their applications. J. Stat. Phys. 106, 1039–1071 (2002)
Bobylev, A., Cercignani, C.: Self-similar asymptotics for the Boltzmann equation with inelastic and elastic interactions. J. Stat. Phys. 110, 333–375 (2003)
Baldassarri, A., UMB, Marconi, Puglisi, A.: Influence of correlations on the velocity statistics of scalar granular gases. Europhys. Lett. 58, 14–20 (2002)
Krapivsky, P., Ben-Naim, E.: Nontrivial velocity distributions in inelastic gases. J. Phys. A 35, L147 (2002)
Ben-Naim, E., Krapivsky, P.: Scaling, multiscaling, and nontrivial exponents in inelastic collision processes. Phys. Rev. E 66, 011309 (2002)
Ben-Naim, E., Krapivsky, P.: The inelastic Maxwell model. Lect. Notes Phys. 624, 65–94 (2003)
Bobylev, A., Cercignani, C., Toscani, G.: Proof of an asymptotic property of self-similar solutions of the Boltzmann equation for granular materials. J. Stat. Phys. 111, 403–417 (2003)
Ben-Naim, E., Machta, J.: Stationary states and energy cascades in inelastic gases. Phys. Rev. Lett. 94, 138001 (2005)
Ben-Naim, E., Machta, B., Machta, J.: Power-law velocity distributions in granular gases. Phys. Rev. E 72, 021302 (2005)
Lambiotte, R., Brenig, L.: Truncated Lévy distributions in an inelastic gas. Phys. Lett. A 345, 309–313 (2005)
Bassetti, F., Ladelli, L., Matthes, D.: Infinite energy solutions to inelastic homogeneous Boltzmann equations. Electron. J. Probab. 20, 1–34 (2015)
Bassetti, F., Toscani, G.: Explicit equilibria in a kinetic model of gambling. Phys. Rev. E 81, 066115 (2010)
Ben-Naim, E., Krapivsky, P.: Multiscaling in inelastic collisions. Phys. Rev. E 61, R5 (2000)
Krapivsky, P., Redner, S., Ben-Naim, E.: A Kinetic View of Statistical Physics. Cambridge University Press, New York (2010)
Brilliantov, N., Pöschel, T.: Kinetic Theory of Granular Gases. Oxford University Press, Oxford (2004)
Lukacs, E.: Characteristic Functions. Charles Griffin & Company Limited, London (1970)
Shimizu, R.: Certain class of infinitely divisible characteristic functions. Ann. Inst. Stat. Math. 17, 115–132 (1965)
Ramachandran, B., Rao, C.: Some results on characteristic functions and characterizations of the normal and generalized stable laws. Sankhya A. 30, 125–140 (1968)
Ramachandran, B., Rao, C.: Solutions of functional equations arising in some regression problems and characterization of the Cauchy law. Sankhya A. 32, 1–30 (1970)
Sato, K.: Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press, Cambridge (1999)
Huillet, T., Porzio, A., Ben-Alaya, M.: On Lévy stable and semistable distributions. Fractals 9, 347–364 (2001)
Ben-Alaya, M., Huillet, T.: On a functional equation genelatizing the class of semistable distributions. Ann. Inst. Statist. Math. 57, 817–831 (2005)
Mantegna, R., Stanley, H.: Stochastic Process with Ultraslow Convergence to a Gaussian: The Truncated Lévy Flight. Phys. Rev. Lett. 73, 2946–2949 (1994)