Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương Pháp Galerkin Bền Entropy Với Các Quy Tắc Tích Phân Phù Hợp Đối Với Các Hệ Siêu Đẳng Với Đầu Vào Ngẫu Nhiên
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi điều tra các hệ siêu đẳng với các đầu vào ngẫu nhiên dựa trên các xấp xỉ rối bột tổng quát (gPC), là một trong những phương pháp phổ biến nhất để định lượng độ không chắc chắn (UQ) và có thể được thực hiện với phương pháp Galerkin ngẫu nhiên (SG) hoặc phương pháp điểm ngẫu nhiên (SC). Một trong những thách thức trong việc giải quyết các hệ siêu đẳng ngẫu nhiên bằng phương pháp SG là hệ xác định thu được có thể không phải là siêu đẳng. Việc thiếu tính siêu đẳng có thể dẫn đến tình trạng đề bài không được xác định tốt và sự không ổn định của các mô phỏng số. Mục tiêu chính của bài báo này là chỉ ra rằng bằng cách xấp xỉ nghiệm trong không gian ngẫu nhiên với phương pháp SG theo cách giả quang phổ với các quy tắc tích phân phù hợp, sơ đồ SG có thể được viết lại như một sơ đồ SC tại một tập hợp các nút cụ thể. Sơ đồ điểm thu được bảo tồn tính siêu đẳng của hệ siêu đẳng ban đầu và hiệu quả hơn trong việc triển khai. Mặt khác, các điều kiện entropy đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo sự xác định tốt của các định luật bảo toàn siêu đẳng. Do đó, chúng tôi xấp xỉ sơ đồ điểm thu được trong không gian bằng phương pháp Galerkin không liên tục bền entropy nodal theo Chen và Shu (J. Comput. Phys. 345:427-461, 2017), trong đó tính ổn định entropy được đảm bảo bởi các toán tử tổng hợp bậc cao, các dòng chảy bảo tồn entropy và các dòng chảy ổn định entropy. Các thí nghiệm số được thực hiện để xác minh độ chính xác và hiệu quả của các sơ đồ đỏ số đã đề xuất.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Babuska, I., Nobile, F., Tempone, R.: A stochastic collocation method for elliptic partial differential equations with random input data. SIAM J. Numer. Anal. 45(3), 1005–1034 (2007)
Chandrashekar, P.: Kinetic energy preserving and entropy stable finite volume schemes for compressible Euler and Navier-Stokes equations. Commun. Comput. Phys. 14(5), 1252–1286 (2013)
Chen, Q.-Y., Gottlieb, D., Hesthaven, J.S.: Uncertainty analysis for the steady-state flows in a dual throat nozzle. J. Comput. Phys. 204(1), 378–398 (2005)
Chen, T., Shu, C.-W.: Entropy stable high order discontinuous Galerkin methods with suitable quadrature rules for hyperbolic conservation laws. J. Comput. Phys. 345, 427–461 (2017)
Chertock, A., Jin, S., Kurganov, A.: An operator splitting based stochastic Galerkin method for the one-dimensional compressible Euler equations with uncertainty. preprint (2015). Available at https://chertock.wordpress.ncsu.edu/publications/
Chertock, A., Jin, S., Kurganov, A.: A well-balanced operator splitting based stochastic Galerkin method for the one-dimensional Saint-Venant system with uncertainty. preprint (2015)
Cockburn, B., Shu, C.-W.: The Runge-Kutta discontinuous Galerkin method for conservation laws V: multidimensional systems. J. Comput. Phys. 141(2), 199–224 (1998)
Cockburn, B., Shu, C.-W.: Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems. J. Sci. Comput. 16(3), 173–261 (2001)
Dai, D., Epshteyn, Y., Narayan, A.: Hyperbolicity-preserving and well-balanced stochastic Galerkin method for shallow water equations. SIAM J. Sci. Comput. 43(2), A929–A952 (2021)
Dai, D., Epshteyn, Y., Narayan, A.: Hyperbolicity-preserving and well-balanced stochastic Galerkin method for two-dimensional shallow water equations. J. Comput. Phys. 452, 110901 (2022)
Després, B., Poëtte, G., Lucor, D.: Robust uncertainty propagation in systems of conservation laws with the entropy closure method. In: Bijl, H., Lucor, D., Mishra, S., Schwab, C. (eds.) Uncertainty Quantification in Computational Fluid Dynamics. Lecture Notes in Computational Science and Engineering, pp. 105–149. Springer International Publishing, Cham (2013)
Dürrwächter, J., Kuhn, T., Meyer, F., Schlachter, L., Schneider, F.: A hyperbolicity-preserving discontinuous stochastic Galerkin scheme for uncertain hyperbolic systems of equations. J. Comput. Appl. Math. 370, 112602 (2020)
Funaro, D.: Polynomial Approximation of Differential Equations. Number 8 in Lecture Notes in Physics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1992)
Gao, Z., Zhou, T.: On the Choice of Design Points for least square polynomial approximations with application to uncertainty quantification. Commun. Comput. Phys. 16(2), 365–381 (2014)
Gerster, S., Herty, M.: Entropies and symmetrization of hyperbolic stochastic Galerkin formulations. Commun. Comput. Phys. 27(3), 639–671 (2020)
Gerster, S., Herty, M., Sikstel, A.: Hyperbolic stochastic Galerkin formulation for the p-system. J. Comput. Phys. 395, 186–204 (2019)
Ghanem, R.G., Spanos, P.D.: Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach. Springer, New York (1991)
Giesselmann, J., Meyer, F., Rohde, C.: A posteriori error analysis and adaptive non-intrusive numerical schemes for systems of random conservation laws. BIT Numer. Math. 60(3), 619–649 (2020)
Godlewski, E., Raviart, P.-A.: Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws. Number 118 in Applied mathematical sciences. Springer Nature, New York, NY, second edition edition (2021)
Godunov, S.K.: An interesting class of quasilinear systems. Dokl. Acad. Nauk SSSR 139, 521–523 (1961)
Gottlieb, D., Orszag, S. A.: Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications. Number CB26 in CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia (1977)
Gottlieb, D., Xiu, D.: Galerkin method for wave equations with uncertain coefficients. Commun. Comput. Phys 3(2), 505–518 (2008)
Guo, L., Narayan, A., Zhou, T., Chen, Y.: Stochastic collocation methods via \({\ell }_1\) minimization using randomized quadratures. SIAM J. Sci. Comput. 39(1), A333–A359 (2017)
Gustafsson, B., Kreiss, H., Oliger, J.: Time dependent problems and difference methods. Pure and Applied Mathematics. John Wiley & Sons Inc, Hoboken, New Jersey (2013)
Hesthaven, J.S., Gottlieb, S., Gottlieb, D.: Spectral Methods for Time-Dependent Problems. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (2007)
Ismail, F., Roe, P.L.: Affordable, entropy-consistent Euler flux functions II: Entropy production at shocks. J. Comput. Phys. 228(15), 5410–5436 (2009)
Jin, S., Shu, R.: A study of hyperbolicity of kinetic stochastic Galerkin system for the isentropic Euler equations with uncertainty. Chin. Ann. Math. Ser. B. 40(5), 765–780 (2019)
Jin, S., Xiu, D., Zhu, X.: A well-balanced stochastic Galerkin method for scalar hyperbolic balance laws with random inputs. J. Sci. Comput. 67, 1198–1218 (2016)
Le Maıtre, O.P., Reagan, M.T., Najm, H.N., Ghanem, R.G., Knio, O.M.: A stochastic projection method for fluid flow: II. Random process. J. Comput. Phys. 181(1), 9–44 (2002)
LeVeque, R.J.: Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhäuser Verlag, Basel (1990)
Mathelin, L., Hussaini, M.Y.: A stochastic collocation algorithm for uncertainty analysis. Technical Report NASA/CR-2003-212153, NASA Langley Research Center, Langley, Virginia (2003)
Mock, M.: Systems of conservation laws of mixed type. J. Differential Equations 37(1), 70–88 (1980)
Nobile, F., Tempone, R., Webster, C.G.: A sparse grid stochastic collocation method for partial differential equations with random input data. SIAM J. Numer. Anal. 46(5), 2309–2345 (2008)
Pettersson, P., Iaccarino, G., Nordström, J.: A stochastic Galerkin method for the Euler equations with Roe variable transformation. J. Comput. Phys. 257, 481–500 (2014)
Poëtte, G., Després, B., Lucor, D.: Uncertainty quantification for systems of conservation laws. J. Comput. Phys. 228(7), 2443–2467 (2009)
Pulch, R., Xiu, D.: Generalised polynomial chaos for a class of linear conservation laws. J. Sci. Comput. 51(2), 293–312 (2011)
Schlachter, L., Schneider, F.: A hyperbolicity-preserving stochastic Galerkin approximation for uncertain hyperbolic systems of equations. J. Comput. Phys. 375, 80–98 (2018)
Schneider, F., Schlachter, L.: Hyperbolicity-preserving stochastic Galerkin method for hyperbolic systems with uncertainties. PAMM 18(1), e201800160 (2018)
Shu, C.-W., Osher, S.: Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. J. Comput. Phys. 77(2), 439–471 (1988)
Smolyak, S.: Quadrature and interpolation formulas for tensor products of certain classes of functions. Soviet Math. Dokl. 4, 240–243 (1963)
Sod, G.: A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws. J. Comput. Phys. 27, 1–31 (1978)
Tadmor, E.: The numerical viscosity of entropy stable schemes for systems of conservation laws. I. Math. Comput. 49(179), 91–103 (1987)
Tadmor, E.: Entropy stability theory for difference approximations of nonlinear conservation laws and related time-dependent problems. Acta Numer 12, 451–512 (2003). (Publisher: Cambridge University Press)
Tang, T., Zhou, T.: Convergence analysis for stochastic collocation methods to scalar hyperbolic equations with a random wave speed. Commun. Comput. Phys. 8(1), 226–248 (2010)
Tatang, M.A., Pan, W., Prinn, R.G., McRae, G.J.: An efficient method for parametric uncertainty analysis of numerical geophysical models. J. Geophys. Res.: Atmos. 102(D18), 21925–21932 (1997)
Tryoen, J., Maître, O.L., Ndjinga, M., Ern, A.: Intrusive Galerkin methods with upwinding for uncertain nonlinear hyperbolic systems. J. Comput. Phys. 229(18), 6485–6511 (2010)
Wiener, N.: The Homogeneous Chaos. Am. J. Math. 60(4), 897–936 (1938)
Wu, K., Tang, H., Xiu, D.: A stochastic Galerkin method for first-order quasilinear hyperbolic systems with uncertainty. J. Comput. Phys. 345, 224–244 (2017)
Wu, K., Xiu, D., Zhong, X.: A WENO-based stochastic Galerkin scheme for ideal MHD equations with random inputs. Commun. Comput. Phys. 30(2), 423–447 (2021)
Xiu, D.: Efficient collocational approach for parametric uncertainty analysis. Commun. Comput. Phys. 2(2), 293–309 (2007)
Xiu, D.: Fast numerical methods for stochastic computations: a review. Commun. Comput. Phys. 5, 242–272 (2009)
Xiu, D.: Numerical Methods for Stochastic Computations: a Spectral Method Approach. Princeton University Press, New Jersey (2010)
Xiu, D., Hesthaven, J.S.: High-order collocation methods for differential equations with random inputs. SIAM J. Sci. Comput. 27(3), 1118–1139 (2005)
Xiu, D., Karniadakis, G.: The Wiener-Askey polynomial chaos for stochastic differential equations. SIAM J. Sci. Comput. 24(2), 619–644 (2002)
Xu, Z., Zhou, T.: On sparse interpolation and the design of deterministic interpolation points. SIAM J. Sci. Comput. 36(4), A1752–A1769 (2014)
Zhang, X., Shu, C.-W.: On maximum-principle-satisfying high order schemes for scalar conservation laws. J. Comput. Phys. 229(9), 3091–3120 (2010)